Analyse de l'énoncé

Cet exercice est un Questionnaire à Choix Multiples (QCM) issu des épreuves de Première Spécialité Mathématiques de 2020. Il balaye des notions fondamentales du programme : l'étude de fonctions du second degré, les propriétés algébriques de la fonction exponentielle, la géométrie analytique (droites du plan) et la compréhension d'un algorithme Python. Dans ce type d'exercice, l'efficacité est de mise : il faut savoir éliminer rapidement les mauvaises réponses ou vérifier une solution par substitution.

Points de vigilance et notions de cours

• Second degré : Savoir identifier l'orientation d'une parabole grâce au signe de $a$ et placer ses racines ou son ordonnée à l'origine.
• Exponentielle : Maîtriser les propriétés de puissance : $e^{a imes b} = (e^a)^b$.
• Géométrie repérée : Savoir qu'un point appartient à une droite si ses coordonnées vérifient l'équation de la droite. Pour l'orthogonalité, utiliser les vecteurs normaux ou le produit des coefficients directeurs ($m imes m' = -1$).
• Python : Bien suivre l'évolution des variables dans une boucle while.

Correction détaillée

Question 1 : Second degré

Soit $f(x) = -x^2 - x + 6$. Le coefficient $a = -1$ est négatif, donc la parabole est tournée vers le bas (concavité négative). On élimine les réponses (a) et (b). En calculant $f(0) = 6$, on voit que la courbe coupe l'axe des ordonnées en $6$. Pour départager (c) et (d), cherchons les racines : $\Delta = (-1)^2 - 4(-1)(6) = 25$. Les racines sont $x_1 = rac{1-5}{-2} = 2$ et $x_2 = rac{1+5}{-2} = -3$. La courbe (c) est la seule correcte.

Question 2 : Exponentielle

D'après les propriétés de la fonction exponentielle, pour tout réel $x$, $e^{nx} = (e^x)^n$. Ici, avec $n=2$, on a $e^{2x} = (e^x)^2$. La réponse correcte est la (d).

Question 3 : Intersection de droites

Testons les coordonnées du point $C(-1 ; 1)$ dans les deux équations :
1) $2(-1) + 1 + 1 = -2 + 1 + 1 = 0$ (Vrai)
2) $3(-1) - 2(1) + 5 = -3 - 2 + 5 = 0$ (Vrai)
Le point $C$ appartient aux deux droites. Réponse (c).

Question 4 : Perpendicularité

La droite $d_1$ a pour équation $x + 3y - 5 = 0$, soit $y = -rac{1}{3}x + rac{5}{3}$. Son coefficient directeur est $m = -rac{1}{3}$.
La droite $d_2$ a pour équation $3x - y + 6 = 0$, soit $y = 3x + 6$. Son coefficient directeur est $m' = 3$.
On constate que $m imes m' = -rac{1}{3} imes 3 = -1$. Les droites sont donc perpendiculaires. Réponse (a).

Question 5 : Algorithme Python

Suivons la boucle pour suite(5) :
- Initialisation : $u=2, k=0$.
- Étape 1 ($k=0$) : $u = 2+0=2, k=1$.
- Étape 2 ($k=1$) : $u = 2+1=3, k=2$.
- Étape 3 ($k=2$) : $u = 3+2=5, k=3$.
- Étape 4 ($k=3$) : $u = 5+3=8, k=4$.
- Étape 5 ($k=4$) : $u = 8+4=12, k=5$.
La condition $k < 5$ devient fausse. On renvoie 12. Réponse (c).