Analyse de l'énoncé
Cet exercice est un QCM (Questionnaire à Choix Multiples) classique du programme de Première Spécialité. Il balaye plusieurs chapitres fondamentaux : la dérivation (lecture graphique), la trigonométrie (cercle trigonométrique), le produit scalaire et la géométrie repérée (droites perpendiculaires et équation de cercle). Chaque question est indépendante, ce qui permet de tester la polyvalence de l'élève sur le socle commun de l'année.
Points de vigilance et notions requises
- Lecture de pente : Savoir que le nombre dérivé \(f'(a)\) correspond au coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse \(a\).
- Cercle trigonométrique : Connaître les valeurs remarquables du sinus et du cosinus pour les angles usuels.
- Produit scalaire : Maîtriser les coordonnées \(\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy'\) et la relation avec le cosinus de l'angle.
- Vecteurs normaux : Identifier un vecteur normal \(\vec{n}(a; b)\) à partir de l'équation cartésienne \(ax+by+c=0\).
- Équation de cercle : Se souvenir qu'un cercle de diamètre \([AB]\) est l'ensemble des points \(M\) tels que \(\vec{MA} \cdot \vec{MB} = 0\) ou passer par le centre et le rayon.
Correction détaillée
Question 1 : La tangente \(d'\) au point d'abscisse 2 a pour équation \(y = -1x + 2\). Le coefficient directeur est \(-1\). Par définition, \(f'(2) = -1\). La réponse correcte est la c.
Question 2 : Dans l'intervalle \([-\pi/2 ; \pi/2]\) (correction tacite de l'énoncé), si \(\sin x = 1/2\), alors \(x = \pi/6\). On en déduit que \(\cos(\pi/6) = \sqrt{3}/2\). La réponse correcte est la c.
Question 3 : Calculons le produit scalaire \(\vec{OA} \cdot \vec{OB}\) avec \(A(3;4)\) et \(B(4;0)\). \(\vec{OA} \cdot \vec{OB} = 3 \times 4 + 4 \times 0 = 12\). On sait aussi que \(\vec{OA} \cdot \vec{OB} = OA \times OB \times \cos(\widehat{AOB})\). Ici \(OA = \sqrt{3^2+4^2}=5\) et \(OB=4\). Donc \(12 = 5 \times 4 \times \cos(\widehat{AOB}) \Rightarrow \cos(\widehat{AOB}) = 12/20 = 3/5\). Comme \(\sin^2 + \cos^2 = 1\), \(\sin^2 = 1 - (9/25) = 16/25\), d'où \(\sin = 4/5\). La réponse correcte est la d.
Question 4 : La droite \(d\) a pour vecteur normal \(\vec{n}(3;2)\). La droite \(d'\) perpendiculaire à \(d\) a donc ce vecteur \(\vec{n}\) comme vecteur directeur. Un vecteur normal à \(d'\) sera donc \(\vec{n'}(2;-3)\). L'équation est de la forme \(2x-3y+c=0\). En passant par \(A(1;2)\), on a \(2(1)-3(2)+c=0 \Rightarrow -4+c=0 \Rightarrow c=4\). L'équation est \(2x-3y+4=0\). Réponse c.
Question 5 : Le milieu \(I\) de \([AB]\) est le centre : \(x_I = (1+5)/2 = 3\) et \(y_I = (2-2)/2 = 0\). Le rayon au carré est \(IA^2 = (1-3)^2 + (2-0)^2 = 4 + 4 = 8\). L'équation est \((x-3)^2 + (y-0)^2 = 8\), soit \(x^2 - 6x + 9 + y^2 = 8\), ce qui donne \(x^2 + y^2 - 6x + 1 = 0\). Réponse d.