Analyse de l'énoncé : La modélisation par l'exponentielle

Cet exercice de Première Spécialité Mathématiques porte sur une application concrète de l'analyse fonctionnelle : l'optimisation de l'aire d'un enclos. L'énoncé nous place dans un repère orthonormé où la limite supérieure de l'enclos est définie par la courbe d'une fonction exponentielle \(f(x) = 4e^{-0,5x}\). L'enclos étant un rectangle \(OABC\), ses dimensions sont directement liées à l'abscisse \(x\) du point \(A\) et à l'image de \(x\) par la fonction \(f\).

Points de vigilance et notions clés

• La formule de dérivation du produit : Pour dériver \(g(x) = 4xe^{-0,5x}\), il est impératif d'utiliser la règle \((uv)' = u'v + uv'\). Une erreur classique consiste à dériver chaque facteur séparément sans appliquer la formule.
• La dérivée de la fonction composée : La dérivée de \(e^{ax+b}\) est \(ae^{ax+b}\). Ici, la dérivée de \(e^{-0,5x}\) est \(-0,5e^{-0,5x}\).
• Signe de l'exponentielle : Rappelez-vous que pour tout réel \(X\), \(e^X > 0\). Cela simplifie grandement l'étude du signe de la dérivée car seul le facteur polynomial détermine les variations.
• Unités et arrondis : L'énoncé demande un arrondi au dm², ce qui correspond à deux chiffres après la virgule puisque \(1 \text{ m}^2 = 100 \text{ dm}^2\).

Guide de résolution détaillé

1. Justification de l'aire : L'enclos est un rectangle de largeur \(OA = x\) et de hauteur \(OC = f(x)\). L'aire est donc \(g(x) = OA \times OC = x \times 4e^{-0,5x} = 4xe^{-0,5x}\).

2. Calcul de la dérivée : Posons \(u(x) = 4x\) donc \(u'(x) = 4\), et \(v(x) = e^{-0,5x}\) donc \(v'(x) = -0,5e^{-0,5x}\). En appliquant \((uv)'\) :
\(g'(x) = 4 \cdot e^{-0,5x} + 4x \cdot (-0,5e^{-0,5x})\)
\(g'(x) = 4e^{-0,5x} - 2xe^{-0,5x}\)
En factorisant par \(e^{-0,5x}\), on obtient bien \(g'(x) = (4 - 2x)e^{-0,5x}\).

3. Tableau de variations : Comme \(e^{-0,5x} > 0\), le signe de \(g'(x)\) est celui de \(4 - 2x\).
\(4 - 2x = 0 \iff x = 2\).
\(4 - 2x > 0\) sur \([0 ; 2[\) et \(4 - 2x < 0\) sur \(]2 ; 5]\).
La fonction \(g\) est donc croissante sur \([0 ; 2]\) et décroissante sur \([2 ; 5]\). Elle admet un maximum en \(x=2\).

4. Conclusion et application numérique : Pour maximiser l'enclos, il faut placer le point \(A\) à 2 mètres de l'origine. L'aire maximale est \(g(2) = 4 \times 2 \times e^{-0,5 \times 2} = 8e^{-1}\).
À la calculatrice : \(8e^{-1} \approx 2,94303\). L'aire est d'environ \(2,94 \text{ m}^2\), soit 294 dm².