Analyse de l'énoncé
Cet exercice porte sur l'application des fonctions exponentielles dans un contexte économique : la gestion des coûts de production. L'objectif principal est d'étudier une fonction de coût total, de calculer sa dérivée (appelée coût marginal) et d'utiliser cette dérivée pour déterminer les variations de la fonction et son maximum. Ce type de problème est un classique du programme de Première Spécialité, car il lie l'analyse mathématique à l'optimisation concrète.
Points de vigilance et notions requises
- Dérivation du produit : La fonction $C$ est de la forme $u \times v + k$. Il est crucial d'utiliser la formule $(uv)' = u'v + uv'$.
- Dérivée de l'exponentielle : Rappelez-vous que la dérivée de $e^{ax+b}$ est $a e^{ax+b}$. Ici, la dérivée de $e^{-0,2x}$ est $-0,2e^{-0,2x}$.
- Signe de l'exponentielle : Une propriété fondamentale est que pour tout réel $X$, $e^X > 0$. Cela simplifie grandement l'étude du signe de la dérivée.
- Arrondis : Attention à la conversion des unités (milliers d'euros) et à la précision demandée (à l'euro près).
Correction détaillée
1. Lecture graphique
En observant la courbe $\mathcal{C}_C$, le sommet semble se situer pour une valeur de $x$ légèrement supérieure à 5. On peut estimer que le coût total est maximal pour environ $5,4$ tonnes de produit par jour.
2. Démonstration du coût marginal
Soit $C(x) = (5x - 2)e^{-0,2x} + 2$. Posons :
$u(x) = 5x - 2 \implies u'(x) = 5$
$v(x) = e^{-0,2x} \implies v'(x) = -0,2e^{-0,2x}$
En utilisant la formule $(uv)'$, on obtient :
$C'(x) = 5 \times e^{-0,2x} + (5x - 2) \times (-0,2e^{-0,2x}) + 0$
$C'(x) = e^{-0,2x} [5 - 0,2(5x - 2)]$
$C'(x) = e^{-0,2x} [5 - x + 0,4]$
$C'(x) = (-x + 5,4)e^{-0,2x}$
On retrouve bien l'expression du coût marginal $C_m(x)$.
3. Signe du coût marginal
On sait que $e^{-0,2x} > 0$ pour tout $x \in [0 ; 10]$. Le signe de $C_m(x)$ dépend donc uniquement de celui de $(-x + 5,4)$.
$-x + 5,4 < 0 \iff x > 5,4$.
Le coût marginal est donc négatif lorsque la production dépasse $5,4$ tonnes par jour.
4. Tableau de variations et Maximum
Sur $[0 ; 5,4]$, $C'(x) \geq 0$, donc $C$ est croissante.
Sur $[5,4 ; 10]$, $C'(x) \leq 0$, donc $C$ est décroissante.
Le maximum est atteint en $x = 5,4$.
Calculons $C(5,4)$ :
$C(5,4) = (5 \times 5,4 - 2)e^{-0,2 \times 5,4} + 2 = 25e^{-1,08} + 2 \approx 10,4891$ milliers d'euros.
Le coût maximal est donc d'environ $10\,489$ euros.