Analyse de l'énoncé

Cet exercice classique de Première Spécialité mobilise les outils d'analyse pour résoudre un problème d'économie d'entreprise (optimisation de production). Il s'articule autour de trois concepts clés : la modélisation d'une recette, l'étude du signe d'un trinôme du second degré et la recherche d'un extremum par la dérivation.

Points de vigilance

• Lien Recette/Coût/Bénéfice : Se rappeler que \(B(x) = R(x) - C(x)\). Une erreur de signe sur la soustraction est fréquente.
• Signe du trinôme : Pour \(B(x)\), le coefficient \(a = -0,1\) est négatif, la parabole est tournée vers le bas. Le bénéfice est positif entre les racines.
• Domaine de définition : L'étude se limite strictement à l'intervalle \([0 ; 160]\).

Correction détaillée et Guide de résolution

1. Expression de la recette : La recette est le prix de vente unitaire multiplié par la quantité \(x\). On a donc \(R(x) = 14x\).

2. Étude du bénéfice : On vérifie que \(B(x) = 14x - (0,1x^2 + 0,7x + 100) = -0,1x^2 + 13,3x - 100\). Pour étudier le signe, on calcule le discriminant \(\Delta = 13,3^2 - 4 \times (-0,1) \times (-100) = 176,89 - 40 = 136,89\). Les racines sont \(x_1 = \frac{-13,3 + 11,7}{-0,2} = 8\) et \(x_2 = \frac{-13,3 - 11,7}{-0,2} = 125\). L'artisan réalise un bénéfice positif pour \(x \in [8 ; 125]\).

3. Dérivation et Maximum :

• Dérivée : \(B'(x) = -0,1 \times 2x + 13,3 = -0,2x + 13,3\).
• Variations : \(B'(x) = 0\) pour \(x = \frac{13,3}{0,2} = 66,5\). Comme \(a < 0\), la fonction croît sur \([0 ; 66,5]\) puis décroît.
• Maximum : Le bénéfice est maximal pour 66,5 kg de confiture. Le montant est \(B(66,5) = -0,1(66,5)^2 + 13,3(66,5) - 100 = 342,225\) euros.