Analyse de l'énoncé
Cet exercice est un grand classique du programme de Mathématiques en Première Spécialité. Il porte sur l'étude d'une suite définie par une relation de récurrence de la forme \(u_{n+1} = au_n + b\), dite suite arithmético-géométrique. L'objectif est de transformer cette suite complexe en une suite géométrique simple grâce à une suite auxiliaire \((v_n)\).
Points de vigilance et notions requises
- Définition d'une suite géométrique : Savoir démontrer que \(v_{n+1} = q \times v_n\).
- Expression fonctionnelle : Maîtriser le passage de la forme récurrente à la forme explicite : \(v_n = v_0 \times q^n\).
- Sommes de termes : Connaître la formule de la somme des termes d'une suite géométrique : \(S = \text{premier terme} \times \frac{1 - q^{\text{nb de termes}}}{1 - q}\).
- Manipulation algébrique : Ne pas confondre la somme des termes de \(v_n\) avec celle de la constante dans la question 4b.
Correction détaillée
1. Nature de la suite \((v_n)\)
Pour montrer que \((v_n)\) est géométrique, exprimons \(v_{n+1}\) en fonction de \(v_n\) :
\(v_{n+1} = u_{n+1} - 6\)
En remplaçant \(u_{n+1}\) par son expression : \(v_{n+1} = (0,5u_n + 3) - 6 = 0,5u_n - 3\).
En factorisant par la raison potentielle \(0,5\) : \(v_{n+1} = 0,5(u_n - 6) = 0,5v_n\).
La suite \((v_n)\) est donc géométrique de raison \(q = 0,5\). Son premier terme est \(v_0 = u_0 - 6 = 7 - 6 = 1\).
2. Expression de \(v_n\) en fonction de \(n\)
D'après le cours sur les suites géométriques : \(v_n = v_0 \times q^n\).
Ici, \(v_n = 1 \times (0,5)^n = 0,5^n\).
3. Expression de \(u_n\) en fonction de \(n\)
On sait que \(v_n = u_n - 6\), donc \(u_n = v_n + 6\).
En remplaçant par l'expression trouvée précédemment : \(u_n = 0,5^n + 6\).
4. Calcul de sommes
a) Valeur de S :
\(S\) est la somme des 101 premiers termes (de 0 à 100) d'une suite géométrique.
\(S = v_0 \frac{1 - 0,5^{101}}{1 - 0,5} = 1 \times \frac{1 - 0,5^{101}}{0,5} = 2(1 - 0,5^{101}) = 2 - 2 \times 0,5^{101}\).
Comme \(0,5^{101}\) est extrêmement proche de 0, \(S \approx 2\).
b) Somme des termes de \(u_n\) :
Notons \(S' = u_0 + u_1 + \dots + u_{100}\).
\(S' = (v_0 + 6) + (v_1 + 6) + \dots + (v_{100} + 6)\)
\(S' = (v_0 + v_1 + \dots + v_{100}) + (6 \times 101)\)
\(S' = S + 606 = 2 - 2 \times 0,5^{101} + 606 = 608 - 2 \times 0,5^{101}\).