Analyse de l'épreuve

Cet exercice, issu des épreuves communes de contrôle continu (E3C) de 2020, se présente sous la forme d'un Questionnaire à Choix Multiples (QCM). Ce format exige une grande rigueur : une erreur de calcul ou une confusion de formule mène directement à une réponse erronée, bien qu'aucune justification ne soit demandée sur la copie. L'exercice balaie deux pans majeurs du programme de Première Spécialité : l'analyse (fonction exponentielle) et la géométrie analytique (équations de droites et de cercles).

Points de vigilance et notions requises

Pour réussir cet exercice, plusieurs compétences clés sont mobilisables :

• Propriétés de l'exponentielle : Il est crucial de savoir que la fonction exponentielle est strictement positive sur \(\mathbb{R}\) et de maîtriser les règles de calcul (\(e^{a}e^{b} = e^{a+b}\) et \((e^{a})^n = e^{an}\)).
• Dérivation : La formule de dérivation des fonctions composées du type \(e^{u(x)}\) est un classique des épreuves.
• Géométrie repérée : Savoir passer d'un vecteur normal \(\vec{n}(a; b)\) à l'équation cartésienne \(ax + by + c = 0\) et identifier le centre d'un cercle par la méthode de complétion du carré (formes canoniques).

Correction Détaillée

Question 1 : Signe de l'exponentielle

Par définition, pour tout réel \(X\), \(e^X > 0\). Ici, en posant \(X = -2x\), l'expression \(e^{-2x}\) reste strictement positive quelle que soit la valeur de \(x\). L'ensemble des solutions est donc \(\mathbb{R}\).
Réponse correcte : a.

Question 2 : Développement algébrique

Nous utilisons l'identité remarquable \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\).
\((e^x - 1)^2 = (e^x)^2 - 2 \times e^x \times 1 + 1^2\).
En appliquant la règle \((e^x)^2 = e^{2x}\), on obtient : \(e^{2x} - 2e^x + 1\).
Réponse correcte : c.

Question 3 : Dérivée de \(e^{u}\)

La fonction est de la forme \(f(x) = e^{u(x)}\) avec \(u(x) = 5x - 1\). La dérivée est donnée par \(f'(x) = u'(x)e^{u(x)}\).
Ici, \(u'(x) = 5\), donc \(f'(x) = 5e^{5x-1}\).
Réponse correcte : c.

Question 4 : Équation de droite

Le vecteur \(\vec{n}(-1; 3)\) est normal à la droite, donc l'équation est de la forme \(-1x + 3y + c = 0\).
On utilise le point \(A(4; 7)\) pour trouver \(c\) :
\(-1(4) + 3(7) + c = 0 \Rightarrow -4 + 21 + c = 0 \Rightarrow 17 + c = 0 \Rightarrow c = -17\).
L'équation est \(-x + 3y - 17 = 0\).
Réponse correcte : d.

Question 5 : Centre du cercle

L'équation est \(x^2 - 4x + (y + 3)^2 = 3\).
Pour trouver le centre, on transforme \(x^2 - 4x\) en début de carré : \((x - 2)^2 - 4\).
L'équation devient : \((x - 2)^2 - 4 + (y + 3)^2 = 3\), soit \((x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 7\).
Sous la forme \((x - x_{\Omega})^2 + (y - y_{\Omega})^2 = R^2\), le centre \(\Omega\) a pour coordonnées \((2; -3)\).
Réponse correcte : b.