Analyse de l'énoncé

Cet exercice sous forme de QCM est une synthèse efficace du programme de Première Spécialité Mathématiques. Il balaye des notions fondamentales : l'étude d'une fonction du second degré via sa forme canonique, la géométrie analytique (équations de droites et produit scalaire), le calcul de dérivées impliquant la fonction exponentielle, et enfin les relations trigonométriques circulaires.

Points de vigilance et notions requises

• Second degré : Savoir interpréter les paramètres d'une forme canonique \(a(x-\alpha)^2 + \beta\) pour déterminer le signe du discriminant \(\Delta\) sans calcul lourd.
• Géométrie : Connaître la relation entre les coefficients d'une équation cartésienne \(ax + by + c = 0\) et un vecteur directeur \(\vec{u}(-b; a)\).
• Produit scalaire : Maîtriser le calcul de coordonnées de vecteurs \(\vec{AB}(x_B-x_A; y_B-y_A)\) et la formule analytique \(xx' + yy'\).
• Dérivation : Appliquer la règle du produit \((uv)' = u'v + uv'\) avec la fonction exponentielle.
• Trigonométrie : Visualiser le cercle trigonométrique pour retrouver les angles associés.

Correction détaillée

Question 1 : La fonction est donnée par \(f(x) = 3(x + 2)^2 + 5\). On reconnaît la forme canonique \(a(x-\alpha)^2 + \beta\) avec \(a=3\) et \(\beta=5\). Puisque \(a > 0\), la parabole est orientée vers le haut. Le sommet est \((-2; 5)\). Comme le minimum de la fonction est \(5\) (donc strictement positif), la courbe ne coupe jamais l'axe des abscisses. L'équation \(f(x)=0\) n'a pas de solution réelle, donc le discriminant \(\Delta\) est strictement négatif. Réponse c.

Question 2 : Pour une droite d'équation \(ax + by + c = 0\), un vecteur directeur est \(\vec{u}(-b; a)\). Ici, \(a=2\) et \(b=3\), donc \(\vec{u}(-3; 2)\) est un vecteur directeur. Réponse b.

Question 3 : Calculons les coordonnées des vecteurs : \(\vec{AB}(4-3; 2-(-1)) = (1; 3)\) et \(\vec{AC}(1-3; 1-(-1)) = (-2; 2)\). Le produit scalaire est \(\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 1 \times (-2) + 3 \times 2 = -2 + 6 = 4\). Réponse c.

Question 4 : \(g(x) = (2x + 1)e^x\) est de la forme \(u(x)v(x)\) avec \(u(x)=2x+1 \implies u'(x)=2\) et \(v(x)=e^x \implies v'(x)=e^x\). En appliquant \((uv)' = u'v + uv'\), on obtient : \(g'(x) = 2e^x + (2x+1)e^x = (2 + 2x + 1)e^x = (2x + 3)e^x\). Réponse d.

Question 5 : D'après les propriétés de symétrie du cercle trigonométrique, pour tout réel \(x\), un demi-tour supplémentaire (\(" + \pi ") \) place le point à l'opposé par rapport à l'origine, ce qui inverse le signe du sinus et du cosinus. Ainsi, \(\sin(x + \pi) = -\sin x\). Réponse d.