Analyse de l'épreuve

Cet exercice se présente sous la forme d'un QCM (Questionnaire à Choix Multiples) de 5 questions indépendantes. Il balaie deux piliers majeurs du programme de Première Spécialité Mathématiques : l'étude des fonctions polynômes du second degré et les fonctions exponentielles, incluant le calcul formel et la dérivation.

Points de vigilance et notions requises

• Second degré : Savoir passer de la forme développée à la forme factorisée en identifiant les racines (soit par calcul du discriminant $\Delta$, soit par racines évidentes).
• Propriétés de l'exponentielle : Maîtriser les règles de calcul $(\text{e}^a)^n = \text{e}^{an}$ et $\frac{\text{e}^a}{\text{e}^b} = \text{e}^{a-b}$.
• Dérivation : Connaître la dérivée de $\text{e}^x$ et la formule de dérivation d'un produit $(uv)' = u'v + uv'$.
• Interprétation graphique : Comprendre que le nombre dérivé $f'(a)$ correspond au coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse $a$.

Correction détaillée

Question 1 : Factorisation

Pour $f(x) = 2x^2 + 6x - 8$, testons les racines évidentes. $f(1) = 2 + 6 - 8 = 0$, donc $1$ est racine. Le produit des racines est $\frac{c}{a} = \frac{-8}{2} = -4$. L'autre racine est donc $-4$. La forme factorisée est $a(x-x_1)(x-x_2)$, soit $2(x-1)(x+4)$. Réponse c.

Question 2 : Calcul de puissance

On applique les propriétés algébriques : $\frac{(\text{e}^x)^2}{\text{e}^{-x}} = \frac{\text{e}^{2x}}{\text{e}^{-x}} = \text{e}^{2x - (-x)} = \text{e}^{2x+x} = \text{e}^{3x}$. Réponse b.

Question 3 : Équation de tangente

Soit $g(x) = \text{e}^x$. On a $g'(x) = \text{e}^x$. L'équation est $y = g'(0)(x-0) + g(0)$. Or $g(0) = \text{e}^0 = 1$ et $g'(0) = 1$. L'équation est $y = 1(x) + 1$, soit $y = x+1$. Réponse c.

Question 4 : Dérivée d'un produit

On pose $u(x) = -x+1$ ($u'(x) = -1$) et $v(x) = \text{e}^x$ ($v'(x) = \text{e}^x$).
$f'(x) = u'v + uv' = -1\text{e}^x + (-x+1)\text{e}^x = \text{e}^x(-1 - x + 1) = -x\text{e}^x$. Réponse a.

Question 5 : Lecture graphique

L'énoncé demande de trouver la proposition fausse.
a) $f'(-2)=0$ : Vrai (sommet de la courbe).
c) $f(0)=3$ : Vrai (la courbe coupe l'axe des ordonnées en 3).
d) $f'(0)=-2$ : La tangente $T$ passe par $(0,3)$ et $(1,1)$. Son coefficient est $\frac{1-3}{1-0} = -2$. Vrai.
b) $f'(3)=-2$ est faux, car la pente à $x=3$ est presque nulle. Réponse b.