Analyse de l'énoncé

Cet exercice de spécialité mathématiques de Première porte sur l'étude d'une fonction combinant un polynôme de degré 1 et la fonction exponentielle, suivie d'une problématique de raccordement de courbes. La Partie A se concentre sur les outils classiques de l'analyse : dérivation, variations et tangentes. La Partie B introduit une fonction de type second degré et demande de déterminer ses paramètres pour assurer une continuité et une régularité (tangente commune) au point de jonction.

Points de vigilance et notions requises

• Dérivation : Utilisation impérative de la formule du produit $(uv)' = u'v + uv'$. Rappel : la dérivée de $e^{-x}$ est $-e^{-x}$.
• Signe de l'exponentielle : Ne pas oublier que pour tout réel $x$, $e^x > 0$. Le signe de la dérivée ne dépend donc que du facteur polynomial.
• Équation de tangente : La formule $y = f'(a)(x-a) + f(a)$ doit être maîtrisée sur le bout des doigts.
• Conditions de raccordement : Deux courbes ont la même tangente en un point si elles passent par ce point et si leurs nombres dérivés y sont égaux.

Correction détaillée et guide de résolution

Partie A : Étude de la fonction f

1. Dérivée : On pose $u(x) = \frac{1}{2}x + 1$ donc $u'(x) = \frac{1}{2}$ et $v(x) = e^{-x}$ donc $v'(x) = -e^{-x}$.
$f'(x) = \frac{1}{2}e^{-x} + (\frac{1}{2}x + 1)(-e^{-x}) = e^{-x}(\frac{1}{2} - \frac{1}{2}x - 1) = (-\frac{1}{2}x - \frac{1}{2})e^{-x}$.

2. Variations : Comme $e^{-x} > 0$, $f'(x)$ est du signe de $-\frac{1}{2}x - \frac{1}{2}$.
$-\frac{1}{2}x - \frac{1}{2} = 0 \iff x = -1$.
La fonction est croissante sur $]-\infty ; -1]$ et décroissante sur $[-1 ; +\infty[$.

3. Affirmation : Le maximum de $f$ est atteint en $-1$. $f(-1) = (-\frac{1}{2} + 1)e^1 = 0,5e \approx 1,35$. Comme $1,35 \leq 2$, l'affirmation est vraie.

4. Tangente en 0 : $f(0) = 1$ et $f'(0) = -0,5$. L'équation est $y = -0,5(x-0) + 1$, soit $y = -0,5x + 1$.

Partie B : Raccordement

1. Valeur de c : Le point $M(0;1)$ appartient à $(\mathcal{C}_g)$, donc $g(0) = 1$. Or $g(0) = 0,5(0)^2 + b(0) + c = c$. On en déduit $c = 1$.

2. Valeur de b : Pour avoir la même tangente en $x=0$, il faut que $g'(0) = f'(0)$.
$g'(x) = x + b$, donc $g'(0) = b$. D'après la partie A, $f'(0) = -0,5$. On en conclut $b = -0,5$.