Analyse de l'énoncé

Ce QCM de spécialité mathématiques balaie une large partie du programme de Première. Il évalue la capacité de l'élève à mobiliser rapidement des notions fondamentales sur les fonctions (exponentielle et second degré), les suites numériques et l'interprétation graphique de la dérivation.

Points de vigilance

• Question 1 : Bien connaître la forme \(e^{kx}\). Sa dérivée est \(k e^{kx}\).
• Question 2 : L'équation de l'axe de symétrie d'une parabole \(ax^2 + bx + c\) est \(x = -\frac{b}{2a}\).
• Question 3 : L'intersection de deux courbes se traduit par l'équation \(a(x) = b(x)\). Le nombre de solutions dépend du discriminant \(\Delta\).
• Question 4 : Formule de la somme des termes d'une suite géométrique : \(S = \text{premier terme} \times \frac{1 - q^{\text{nombre de termes}}}{1 - q}\).
• Question 5 : Une tangente horizontale signifie que le nombre dérivé est nul (\(f'(x) = 0\)).

Correction Détaillée

Question 1 : La fonction \(g(x) = e^{100x}\) a pour dérivée \(g'(x) = 100e^{100x}\). Comme \(100 > 0\) et l'exponentielle est toujours positive, \(g'(x) > 0\). La fonction est donc strictement croissante sur \(\mathbb{R}\). Réponse a.

Question 2 : Pour \(f(x) = 100x^2 + 10x + 1\), on a \(a=100\) et \(b=10\). L'axe de symétrie est \(x = -\frac{10}{2 \times 100} = -\frac{10}{200} = -0,05\). Réponse d.

Question 3 : Résolvons \(3x^2 + 15x + 1 = 25x^2 + 5x - 100\), ce qui donne \(-22x^2 + 10x + 101 = 0\). Le discriminant \(\Delta = 10^2 - 4(-22)(101) = 100 + 8888 = 8988\). Comme \(\Delta > 0\), il y a deux solutions réelles distinctes. Réponse c.

Question 4 : Il s'agit de la somme des 11 premiers termes (de \(5^0\) à \(5^{10}\)) d'une suite géométrique de raison \(q=5\). \(S = 1 \times \frac{1 - 5^{11}}{1 - 5} = \frac{1 - 48\,828\,125}{-4} = 12\,207\,031\). Réponse d.

Question 5 : La courbe admet des tangentes horizontales en \(x=-1\) et \(x=3\). Par définition, \(f'(-1) = 0\) et \(f'(3) = 0\). Le produit \(0 \times 0\) est égal à \(0\). Réponse c.