Analyse de l'énoncé
Cet exercice porte sur l'étude d'une fonction polynomiale du troisième degré sur un intervalle fermé $[-1 ; 5]$. L'objectif est de mobiliser les outils fondamentaux de l'analyse en Première Spécialité : le calcul de la dérivée, la factorisation d'un trinôme du second degré, l'étude du signe pour obtenir les variations de la fonction, et enfin l'application géométrique de la dérivation via l'équation de la tangente.
Points de vigilance et notions de cours
Pour réussir cet exercice, il faut maîtriser plusieurs points clés :
- Les formules de dérivation usuelles : $(x^n)' = nx^{n-1}$.
- Le lien entre le signe de la dérivée $f'(x)$ et le sens de variation de la fonction $f$.
- La résolution d'équations du second degré pour trouver les racines de la dérivée.
- La formule de l'équation de la tangente à une courbe au point d'abscisse $a$ : $y = f'(a)(x - a) + f(a)$.
- La propriété géométrique : deux tangentes sont parallèles si et seulement si leurs coefficients directeurs (les nombres dérivés) sont égaux.
Correction détaillée
1. Calcul de la dérivée :
La fonction est de la forme $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1$. En appliquant les règles de dérivation, on obtient :
$f'(x) = 3x^2 - 6 imes 2x + 9 = 3x^2 - 12x + 9$.
2. Factorisation de $f'(x)$ :
Développons l'expression proposée : $3(x - 1)(x - 3) = 3(x^2 - 3x - x + 3) = 3(x^2 - 4x + 3) = 3x^2 - 12x + 9$. On retrouve bien $f'(x)$.
3. Tableau de signe et variations :
La dérivée est un trinôme du second degré dont les racines sont $1$ et $3$. Le coefficient devant $x^2$ est positif ($3 > 0$), donc $f'(x)$ est positive à l'extérieur des racines et négative entre elles.
- Sur $[-1 ; 1]$, $f'(x) \ge 0$, donc $f$ est croissante.
- Sur $[1 ; 3]$, $f'(x) \le 0$, donc $f$ est décroissante.
- Sur $[3 ; 5]$, $f'(x) \ge 0$, donc $f$ est croissante.
Les valeurs remarquables sont $f(-1) = -15$, $f(1) = 5$, $f(3) = 1$ et $f(5) = 21$.
4. Équation de la tangente $T$ en $x=0$ :
$f(0) = 1$ et $f'(0) = 9$.
L'équation est $y = f'(0)(x - 0) + f(0)$, soit $y = 9x + 1$.
5. Tangente parallèle à $T$ :
On cherche $x
eq 0$ tel que $f'(x) = 9$.
$3x^2 - 12x + 9 = 9 \Leftrightarrow 3x^2 - 12x = 0 \Leftrightarrow 3x(x - 4) = 0$.
Les solutions sont $x = 0$ et $x = 4$. Le point cherché a pour abscisse $x = 4$.
Or $f(4) = 4^3 - 6(4^2) + 9(4) + 1 = 64 - 96 + 36 + 1 = 5$. Le point est $(4 ; 5)$.