Analyse de l'énoncé

Cet exercice de géométrie repérée mobilise des outils fondamentaux du programme de Première Spécialité. Il évalue la capacité de l'élève à utiliser les coordonnées pour caractériser des figures (triangle isocèle), calculer des mesures d'angles via le produit scalaire et vérifier les propriétés d'un projeté orthogonal.

Points de vigilance et notions requises

• Formule de la distance : Savoir calculer la distance entre deux points \(M(x_M;y_M)\) et \(N(x_N;y_N)\) avec \(MN = \sqrt{(x_N-x_M)^2 + (y_N-y_M)^2}\).
• Produit scalaire : Utiliser la formule analytique \(xx' + yy'\) et la formule trigonométrique \(||u|| \times ||v|| \times \cos(\theta)\) pour isoler le cosinus d'un angle.
• Projeté orthogonal : Comprendre qu'un point \(H\) est le projeté orthogonal de \(B\) sur \((AC)\) si et seulement si \(H\) appartient à \((AC)\) et les vecteurs \(\vec{BH}\) et \(\vec{AC}\) sont orthogonaux.

Correction détaillée

1. Le triangle ABC est-il isocèle en B ?
Calculons les longueurs \(BA\) et \(BC\) :
\(BA = \sqrt{(x_A-x_B)^2 + (y_A-y_B)^2} = \sqrt{(-1-1)^2 + (-3-2)^2} = \sqrt{(-2)^2 + (-5)^2} = \sqrt{4+25} = \sqrt{29}\).
\(BC = \sqrt{(x_C-x_B)^2 + (y_C-y_B)^2} = \sqrt{(7-1)^2 + (1-2)^2} = \sqrt{6^2 + (-1)^2} = \sqrt{36+1} = \sqrt{37}\).
Puisque \(BA eq BC\), le triangle ABC n'est pas isocèle en B.

2. Déterminer l'angle \(\widehat{BAC}\) :
Utilisons le produit scalaire \(\vec{AB} \cdot \vec{AC}\).
\(\vec{AB}(2 ; 5)\) et \(\vec{AC}(8 ; 4)\).
\(\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 2 \times 8 + 5 \times 4 = 16 + 20 = 36\).
Par ailleurs, \(AB = \sqrt{29}\) et \(AC = \sqrt{8^2+4^2} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}\).
On a \(\cos(\widehat{BAC}) = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{AB \times AC} = \frac{36}{\sqrt{29} \times \sqrt{80}}\).
À la calculatrice : \(\widehat{BAC} \approx 41,6^\circ\).

3. H est-il le projeté orthogonal de B sur (AC) ?
Vérifions d'abord l'orthogonalité : \(\vec{BH}(2,6-1 ; -1,2-2) = \vec{BH}(1,6 ; -3,2)\).
\(\vec{BH} \cdot \vec{AC} = 1,6 \times 8 + (-3,2) \times 4 = 12,8 - 12,8 = 0\). L'orthogonalité est vérifiée.
Vérifions ensuite si \(H \in (AC)\) : \(\vec{AH}(3,6 ; 1,8)\). On remarque que \(\vec{AH} = 0,45 \vec{AC}\) (car \(3,6/8 = 0,45\) et \(1,8/4 = 0,45\)). Les vecteurs sont colinéaires, donc \(H\) appartient à \((AC)\).
Conclusion : H est bien le projeté orthogonal de B sur (AC).