Analyse de l'énoncé

Cet exercice est un Questionnaire à Choix Multiples (QCM) issu des épreuves communes de 2020 pour la spécialité mathématiques en classe de Première. Il balaye un spectre large du programme : l'étude algébrique des polynômes et de la fonction exponentielle, ainsi que la géométrie analytique (équations de cercle, vecteurs et droites). L'absence de points de pénalité pour les mauvaises réponses incite à tenter toutes les questions, mais une rigueur méthodologique reste indispensable pour sécuriser les points.

Points de vigilance et notions requises

• Second degré : Savoir calculer le discriminant \(\Delta = b^2 - 4ac\) pour déterminer le nombre de racines d'un trinôme.
• Fonction Exponentielle : Se rappeler que pour tout réel \(x\), \(e^x > 0\), ce qui implique que \(e^x + 1\) ne s'annule jamais.
• Géométrie du cercle : Connaître l'équation cartésienne \((x - x_A)^2 + (y - y_A)^2 = r^2\). L'erreur classique est d'oublier de mettre le rayon au carré.
• Produit scalaire : Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul (\(xx' + yy' = 0\)).
• Équation de droite : Un vecteur normal \(\vec{n}(a; b)\) donne les coefficients de l'équation cartésienne \(ax + by + c = 0\).

Correction détaillée

Question 1 : L'équation \(P(x) = (x^2+x+1)(x-1) = 0\) est une équation produit nul. Soit \(x-1=0 \implies x=1\), soit \(x^2+x+1=0\). Pour le trinôme, \(\Delta = 1^2 - 4(1)(1) = -3\). Comme \(\Delta < 0\), le trinôme n'a pas de racine réelle. Il n'y a donc qu'une seule solution : \(x=1\). Réponse b.

Question 2 : \(f(x) = (7x - 23)(e^x+1)\). Comme \(e^x > 0\) pour tout \(x\), \(e^x+1 \geq 1\), donc ce facteur ne s'annule jamais. L'équation revient à \(7x - 23 = 0\), soit \(x = \frac{23}{7}\). Réponse c.

Question 3 : Le cercle de centre \(A(-4; 2)\) et de rayon \(r = \sqrt{2}\) a pour équation \((x - (-4))^2 + (y - 2)^2 = (\sqrt{2})^2\), ce qui donne \((x + 4)^2 + (y - 2)^2 = 2\). Réponse c.

Question 4 : \(\vec{u} \cdot \vec{v} = (m+1)m + (-1)(2) = m^2 + m - 2\). On cherche \(m\) tel que \(m^2 + m - 2 = 0\). En testant les valeurs proposées ou en calculant les racines (racine évidente \(1\), donc l'autre est \(-2\)), on trouve \(m = -2\). Réponse b.

Question 5 : La droite \(D\) a pour vecteur normal \(\vec{n}(-1; 3)\), son équation est de la forme \(-x + 3y + c = 0\). En passant par \(A(-2; 5)\), on a : \(-(-2) + 3(5) + c = 0 \implies 2 + 15 + c = 0 \implies c = -17\). L'équation est \(-x + 3y - 17 = 0\), ce qui équivaut à \(x - 3y + 17 = 0\). Réponse b.