Analyse de l'énoncé

Cet exercice de Première Spécialité porte sur l'étude de deux modèles d'évolution. La Partie A présente une approche purement mathématique avec une suite géométrique \(u_n\) et une suite \(v_n\) (dont on peut prouver qu'elle est arithmétique). La Partie B demande de réinvestir ces outils dans un contexte concret : le marché automobile (Diesel vs Essence).

Points de vigilance et notions clés

• Suites Géométriques : Pour une baisse de \(6\%\), le coefficient multiplicateur est \(q = 1 - 0,06 = 0,94\). La forme explicite est \(u_n = u_0 \times q^n\).
• Suites Arithmétiques : En développant \(v_n = 50(104 + 25n) = 5200 + 1250n\), on reconnaît une suite arithmétique de premier terme \(v_0 = 5200\) et de raison \(r = 1250\).
• Somme de termes : La formule de la somme des \(k\) premiers termes d'une suite géométrique est \(S = u_0 \frac{1-q^k}{1-q}\).
• Recherche de seuil : Pour comparer deux suites, on peut utiliser la calculatrice (menu Table) ou un algorithme pour déterminer quand \(u_n < v_n\).

Correction Détaillée

Partie A :

1. La forme explicite de la suite géométrique est \(u_n = 25000 \times 0,94^n\).
2. Les sept premiers termes vont de \(n=0\) à \(n=6\). La somme est \(S = 25000 \times \frac{1 - 0,94^7}{1 - 0,94} \approx 146\,468\) (arrondi à l'unité).
3. Comparaison : \(u_0 = 25000\) et \(v_0 = 5200\), donc \(u_0 > v_0\). Pour \(n=20\) : \(u_{20} = 25000 \times 0,94^{20} \approx 7253\) et \(v_{20} = 50(104 + 25 \times 20) = 30200\). On a \(u_{20} < v_{20}\).
4. Par tâtonnement à la calculatrice, on trouve \(u_8 \approx 15240\) et \(v_8 = 15200\) (toujours \(u_n > v_n\)). Puis \(u_9 \approx 14325\) et \(v_9 = 16450\). Le plus petit entier est \(n=9\).

Partie B :

Le moteur Diesel suit le modèle \(u_n\) (décroissance de \(6\%\) par an) et le moteur Essence suit le modèle \(v_n\) (augmentation constante de \(1250\) unités). Les ventes d'Essence dépassent les ventes de Diesel pour \(n=9\). L'année correspondante est \(1995 + 9 = 2004\).