Analyse de l'énoncé

Cet exercice de type Vrai/Faux avec justification est caractéristique des épreuves de mathématiques en Première Spécialité. Il nécessite une grande polyvalence car il couvre trois domaines distincts : l'étude d'un trinôme du second degré à paramètre, la reconnaissance d'une suite géométrique et l'application de la dérivation à la fonction exponentielle pour trouver une équation de tangente.

Points de vigilance et notions requises

• Second degré : Savoir calculer un discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$ et interpréter son signe, même lorsqu'il contient un paramètre variable (ici $u$).
• Suites : Maîtriser les propriétés des puissances ($2^{-n} = (1/2)^n$) pour identifier la raison d'une suite géométrique.
• Dérivation : Connaître la dérivée de $e^x$, la valeur de $e^0$, et la formule de la tangente $y = f'(a)(x - a) + f(a)$.

Correction détaillée

Question 1 : Discriminant et solutions

L'équation est $x^2 + x - u^2 = 0$. Les coefficients sont $a=1, b=1, c=-u^2$.
Calculons le discriminant : $\Delta = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(1)(-u^2) = 1 + 4u^2$.
Pour tout réel $u$, $u^2 \ge 0$, donc $4u^2 \ge 0$, ce qui implique $1 + 4u^2 \ge 1$.
Puisque $\Delta > 0$ pour toute valeur de $u$, l'équation possède toujours deux solutions réelles distinctes. L'affirmation est VRAIE.

Question 2 : Nature de la suite

On a $u_n = 2^{-n}$. Par propriété des puissances, $2^{-n} = (2^{-1})^n = \left(\frac{1}{2}\right)^n$.
On reconnaît la forme $u_n = u_0 \times q^n$ avec $u_0 = 1$ et $q = \frac{1}{2}$.
On peut aussi vérifier le rapport : $\frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{2^{-(n+1)}}{2^{-n}} = 2^{-n-1+n} = 2^{-1} = \frac{1}{2}$. Le rapport est constant. L'affirmation est VRAIE.

Question 3 : Tangente et point A

Calculons l'équation de la tangente $\mathcal{T}$ en $x=0$.
$f(x) = e^x - 1 \Rightarrow f(0) = e^0 - 1 = 1 - 1 = 0$.
$f'(x) = e^x \Rightarrow f'(0) = e^0 = 1$.
L'équation de $\mathcal{T}$ est $y = f'(0)(x - 0) + f(0)$, soit $y = 1(x) + 0$, donc $y = x$.
Le point $A$ a pour coordonnées $(3;3)$. En remplaçant $x$ par 3 dans l'équation de la tangente, on obtient $y = 3$. Les coordonnées de $A$ vérifient l'équation $y=x$. L'affirmation est VRAIE.