Analyse de l'énoncé

Cet exercice porte sur l'étude de la production d'une entreprise de chaudières. Il mobilise deux représentations classiques des probabilités : le tableau de contingence (effectifs) et l'arbre pondéré (fréquences). L'objectif est de vérifier la maîtrise du passage entre effectifs et probabilités, ainsi que l'utilisation de la formule des probabilités totales.

Points de vigilance et notions de cours

• Notation : Attention à ne pas confondre \(P(V \cap D)\) (probabilité que la chaudière soit à ventouse ET défectueuse) et \(P_D(V)\) (probabilité qu'elle soit à ventouse SACHANT qu'elle est défectueuse).
• Probabilités totales : Dans un arbre, la probabilité d'un événement situé au second niveau est la somme des probabilités des chemins y menant.
• Indépendance : Deux évènements \(A\) et \(B\) sont indépendants si et seulement si \(P(A \cap B) = P(A) \times P(B)\) ou \(P_A(B) = P(B)\).

Correction Détaillée

1. Tableau à double entrée

On calcule les effectifs à partir des pourcentages donnés :
- Chaudières à cheminée défectueuses : \(1\% \times 900 = 9\).
- Chaudières à ventouse défectueuses : \(6\% \times 600 = 36\).
- Totaux : Défectueuses = \(9 + 36 = 45\) ; Non défectueuses = \(1500 - 45 = 1455\).

2. Arbre pondéré

• \(P(C) = 0,6\) (donné).
• \(P(V) = 1 - 0,6 = 0,4\).
• \(P_C(D) = 0,01\) et \(P_C(\overline{D}) = 0,99\).
• \(P_V(D) = 0,06\) et \(P_V(\overline{D}) = 0,94\).

3. Probabilité que la chaudière soit défectueuse

D'après la formule des probabilités totales :
\(P(D) = P(C \cap D) + P(V \cap D) = P(C) \times P_C(D) + P(V) \times P_V(D)\)
\(P(D) = 0,6 \times 0,01 + 0,4 \times 0,06 = 0,006 + 0,024 = 0,03\).

4. Calcul de \(P_D(V)\)

\(P_D(V) = \frac{P(V \cap D)}{P(D)} = \frac{0,024}{0,03} = 0,8\).
Interprétation : Si une chaudière prélevée est défectueuse, il y a 80 % de chances qu'il s'agisse d'une chaudière à ventouse.

5. Indépendance

On compare \(P(V \cap D)\) et \(P(V) \times P(D)\) :
\(P(V \cap D) = 0,024\).
\(P(V) \times P(D) = 0,4 \times 0,03 = 0,012\).
Comme \(0,024 eq 0,012\), les évènements ne sont pas indépendants. Le type de chaudière influe sur la probabilité d'avoir un défaut.