Analyse de l'énoncé

Cet exercice, issu des épreuves de mathématiques de Première Spécialité (2020), porte sur l'étude d'une suite arithmético-géométrique. Ce type de suite est classique au baccalauréat et permet de modéliser des phénomènes d'évolution mélangeant une variation relative (pourcentage) et une variation absolue (apport constant). Ici, on étudie le nombre d'abonnés à une médiathèque avec un taux de renouvellement de 80 % et 400 nouvelles adhésions annuelles.

Points de vigilance et notions requises

• Relation de récurrence : Savoir identifier une suite de la forme $u_{n+1} = au_n + b$.
• Suite auxiliaire : Comprendre comment l'introduction de $v_n = a_n - L$ permet de se ramener à une suite géométrique.
• Calcul de puissances : Maîtriser l'expression du terme général $v_n = v_0 \times q^n$.
• Résolution d'inéquations : Savoir utiliser la calculatrice ou les logarithmes (si vus) pour trouver un rang $n$.

Correction Détaillée

1. Calcul des premiers termes :
$a_1 = 0,8 \times a_0 + 400 = 0,8 \times 2500 + 400 = 2000 + 400 = 2400$.
$a_2 = 0,8 \times a_1 + 400 = 0,8 \times 2400 + 400 = 1920 + 400 = 2320$.

2.a. Nature de la suite $(v_n)$ :
On a $v_{n+1} = a_{n+1} - 2000 = (0,8a_n + 400) - 2000 = 0,8a_n - 1600$.
En factorisant par 0,8 : $v_{n+1} = 0,8(a_n - \frac{1600}{0,8}) = 0,8(a_n - 2000) = 0,8v_n$.
La suite $(v_n)$ est donc géométrique de raison $q = 0,8$ et de premier terme $v_0 = a_0 - 2000 = 2500 - 2000 = 500$.

2.b. Expression de $v_n$ :
Pour tout $n$, $v_n = v_0 \times q^n = 500 \times 0,8^n$.

2.c. Expression de $a_n$ :
Puisque $v_n = a_n - 2000$, on a $a_n = v_n + 2000 = 500 \times 0,8^n + 2000$.

2.d. Seuil de fréquentation :
On cherche $n$ tel que $500 \times 0,8^n + 2000 \leq 2010$, soit $500 \times 0,8^n \leq 10$, donc $0,8^n \leq 0,02$.
À l'aide de la calculatrice : $0,8^{17} \approx 0,0225$ et $0,8^{18} \approx 0,018$.
Le plus petit entier est donc $n = 18$. Cela signifie qu'en $2013 + 18 = 2031$, le nombre d'inscrits passera sous la barre des 2010.