Analyse de l'énoncé

Cet exercice de mathématiques pour le niveau Première Spécialité porte sur l'optimisation géométrique. L'objectif est de trouver les dimensions d'un rectangle d'aire fixe (49 m²) minimisant son périmètre. Ce type de problème est un classique qui fait le lien entre la géométrie plane et l'analyse de fonctions.

Points de vigilance et notions requises

• Relations géométriques : Il faut parfaitement maîtriser les formules de l'aire ($A = x \times y$) et du périmètre ($P = 2x + 2y$).
• Dérivation : La dérivation de la fonction inverse est cruciale. Rappel : la dérivée de $\frac{k}{x}$ est $-\frac{k}{x^2}$.
• Étude de signe : L'étude du signe de la dérivée nécessite de résoudre une inéquation du second degré ou de reconnaître une identité remarquable au numérateur.

Correction détaillée

1. Mise en équation :
a. On sait que l'aire $xy = 49$, d'où $y = \frac{49}{x}$. Le périmètre est $P = 2x + 2y$. En remplaçant $y$, on obtient $P(x) = 2x + 2\left(\frac{49}{x}\right) = 2x + \frac{98}{x}$.
b. Pour $x = 10$, $P(10) = 2(10) + \frac{98}{10} = 20 + 9,8 = 29,8$ mètres.

2. Calcul de la dérivée :
La fonction est de la forme $f(x) = 2x + 98 \times \frac{1}{x}$. Sa dérivée est $f'(x) = 2 - \frac{98}{x^2}$.
En mettant au même dénominateur : $f'(x) = \frac{2x^2}{x^2} - \frac{98}{x^2} = \frac{2x^2 - 98}{x^2}$.

3. Variations de la fonction :
Le signe de $f'(x)$ dépend uniquement de son numérateur $2x^2 - 98$ car $x^2 > 0$.
$2x^2 - 98 = 0 \iff x^2 = 49 \iff x = 7$ (car $x > 0$).
Le trinôme $2x^2 - 98$ est négatif entre les racines $-7$ et $7$. Sur $]0 ; 7]$, $f'(x) \leq 0$ (la fonction décroît). Sur $[7 ; +\infty[$, $f'(x) \geq 0$ (la fonction croît). Le minimum est atteint en $x = 7$.

4. Conclusion :
Le périmètre est minimal pour $x = 7$ mètres. Puisque $y = \frac{49}{x}$, on trouve $y = \frac{49}{7} = 7$ mètres. Le rectangle est donc un carré de côté 7 mètres.