Analyse de l'énoncé et enjeux économiques

Cet exercice de Première Spécialité Mathématiques porte sur une application concrète de l'analyse fonctionnelle au domaine de l'économie : l'optimisation des coûts de production. L'énoncé nous présente une fonction de coût total $C(q)$ modélisée par un polynôme du troisième degré. L'objectif est d'étudier la fonction de coût moyen $C_M(q)$ pour identifier le seuil de production minimisant les dépenses par unité produite.

Points de vigilance et notions requises

Pour réussir cet exercice, plusieurs compétences clés du programme de Première Spécialité sont mobilisées :

• La lecture d'énoncé : Il est crucial de noter que $q$ est exprimé en milliers d'objets. Ainsi, 5000 objets correspondent à $q = 5$.
• La dérivation : Savoir dériver des fonctions de type $q^n$ et la fonction inverse $1/q$ est indispensable.
• L'étude de signe : L'analyse du signe d'une dérivée factorisée nécessite de reconnaître le signe d'un trinôme du second degré (ici $q^2 + q + 10$) et d'un facteur linéaire.
• L'optimisation : Comprendre le lien entre l'annulation de la dérivée et l'existence d'un extremum local.

Correction détaillée et guide de résolution

1. Analyse préliminaire pour 5000 objets ($q=5$) :
a) On calcule $C(5) = 5^3 - 18(5^2) + 750(5) + 200 = 125 - 450 + 3750 + 200 = 3625$ euros.
b) Le coût moyen est $C_M(5) = C(5) / 5 = 3625 / 5 = 725$ euros par millier d'objets.

2. Étude de la fonction de coût moyen :
a) Dérivation : On part de $C_M(q) = q^2 - 18q + 750 + \frac{200}{q}$. En dérivant terme à terme, on obtient $C'_M(q) = 2q - 18 - \frac{200}{q^2}$. Pour montrer la forme demandée, on met au même dénominateur : $C'_M(q) = \frac{2q^3 - 18q^2 - 200}{q^2}$. En développant le numérateur proposé dans l'énoncé $2(q - 10)(q^2 + q + 10) = 2(q^3 + q^2 + 10q - 10q^2 - 10q - 100) = 2(q^3 - 9q^2 - 100) = 2q^3 - 18q^2 - 200$, on retrouve bien la même expression.

b) Signe et variations : Sur $[1 ; 20]$, $q^2 > 0$ et le trinôme $q^2 + q + 10$ a un discriminant $\Delta = 1^2 - 4(1)(10) = -39$. Puisque $\Delta < 0$, le trinôme est toujours du signe de $a=1$, donc positif. Le signe de $C'_M(q)$ dépend donc uniquement de $q - 10$. La dérivée est négative sur $[1 ; 10]$ et positive sur $[10 ; 20]$. La fonction $C_M$ est donc décroissante puis croissante.

c) Minimum : Le minimum est atteint en $q = 10$. Le coût moyen minimal est $C_M(10) = 10^2 - 18(10) + 750 + \frac{200}{10} = 100 - 180 + 750 + 20 = 690$ euros. Ce minimum est obtenu pour une production de 10 000 objets.