Analyse de l'énoncé

Cet exercice de mathématiques pour la spécialité de Première est structuré en deux parties interdépendantes qui mobilisent des compétences transversales du programme : l'étude des polynômes du second degré, la modélisation de suites numériques et l'analyse de fonctions par la dérivation. La première partie se concentre sur une parabole \(P\) et le calcul d'un taux d'accroissement, tandis que la seconde utilise ces résultats pour étudier une fonction rationnelle.

Points de vigilance et notions requises

Pour réussir cet exercice, l'élève doit maîtriser :

• Le calcul du discriminant \(\Delta\) et la détermination du signe d'un trinôme.
• La définition du coefficient directeur d'une droite passant par deux points \(A(x_A, y_A)\) et \(B(x_B, y_B)\) : \(m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}\).
• La reconnaissance d'une suite arithmétique de forme \(u_n = an + b\).
• Les formules de dérivation usuelles, notamment \((x)' = 1\) et \((\frac{1}{x})' = -\frac{1}{x^2}\).
• Le lien entre le signe de la dérivée et les variations d'une fonction.

Guide de résolution et Correction

Partie 1 : Étude de \(g(x) = x^2 - 5x + 4\)

1.a. Pour le signe, on calcule \(\Delta = (-5)^2 - 4(1)(4) = 25 - 16 = 9\). Les racines sont \(x_1 = \frac{5-3}{2} = 1\) et \(x_2 = \frac{5+3}{2} = 4\). Le coefficient devant \(x^2\) étant positif, \(g(x) \leq 0\) sur \([1; 4]\) et \(g(x) > 0\) sur \(]-\infty; 1[ \cup ]4; +\infty[\).

1.b. Le point \(A_n\) a pour coordonnées \((n, g(n))\). Le coefficient directeur \(a_n\) de la droite \((A_nA_{n+1})\) est :
\(a_n = \frac{g(n+1) - g(n)}{(n+1) - n} = g(n+1) - g(n)\).
En développant, \(g(n+1) = (n+1)^2 - 5(n+1) + 4 = n^2 + 2n + 1 - 5n - 5 + 4 = n^2 - 3n\).
Ainsi, \(a_n = (n^2 - 3n) - (n^2 - 5n + 4) = 2n - 4\).

1.c. On reconnaît une suite arithmétique de raison \(r = 2\) et de premier terme \(a_0 = -4\).

Partie 2 : Analyse de la fonction \(f\)

2.a. En mettant au même dénominateur : \(f(x) = \frac{x^2 - 5x + 4}{x} = \frac{g(x)}{x}\).
2.b. Sur \([0,5; 8]\), \(x\) est positif. Donc \(f(x)\) est du signe de \(g(x)\). La courbe \(C\) est au-dessus de l'axe des abscisses sur \([0,5; 1]\) et \([4; 8]\), et en dessous sur \([1; 4]\).
2.c. \(f'(x) = 1 - 0 - \frac{4}{x^2} = \frac{x^2 - 4}{x^2} = \frac{(x-2)(x+2)}{x^2}\).
2.d. Sur l'intervalle, \((x+2)\) et \(x^2\) sont positifs. La dérivée est du signe de \((x-2)\). \(f\) est décroissante sur \([0,5; 2]\) et croissante sur \([2; 8]\). Le minimum est atteint en \(x=2\) avec \(f(2) = 2 - 5 + 2 = -1\).