Analyse du Sujet 28 - E3C Première Spécialité Mathématiques (2020)

Le sujet 28 de l'épreuve de spécialité mathématiques de Première (session 2020) est un excellent support de révision car il balaie l'essentiel du programme de l'année. Avec une structure classique en quatre exercices, il permet d'évaluer tant les compétences techniques de calcul que la capacité de modélisation des élèves. La difficulté globale est jugée équilibrée, avec un accent particulier mis sur la rigueur de la rédaction en probabilités et en analyse.

Exercice 1 : QCM de géométrie, analyse et second degré

Le premier exercice, sous forme de QCM (Questionnaire à Choix Multiples), teste des automatismes fondamentaux.

• Question 1 & 2 (Géométrie repérée) : Elles demandent de jongler entre vecteurs directeurs, vecteurs normaux et équations cartésiennes. Rappelez-vous que pour une droite d'équation $ax + by + c = 0$, un vecteur directeur est $(-b; a)$ et un vecteur normal est $(a; b)$.
• Question 3 (Dérivation) : Ici, la lecture graphique est primordiale. Le nombre dérivé $f'(1)$ correspond au coefficient directeur de la tangente $\mathcal{D}$ au point A. En utilisant les points A(1;1) et B(0;-1), le calcul de la pente $\frac{y_A-y_B}{x_A-x_B}$ donne immédiatement la solution.
• Question 4 (Second degré) : Le tableau de signes indique une parabole tournée vers le bas (coefficient $a < 0$) s'annulant en -1 et 2. L'expression est donc de la forme $k(x+1)(x-2)$.
• Question 5 (Exponentielle & Dérivation) : La dérivation de $x e^x$ nécessite la formule du produit $(uv)' = u'v + uv'$.

Exercice 2 : Probabilités et Variables Aléatoires

Cet exercice est divisé en deux parties. La première traite des probabilités conditionnelles à travers l'exemple d'un portique de sécurité.

Notions clés : L'arbre pondéré est l'outil indispensable ici. Il faut être vigilant sur la lecture des données : "un voyageur sur 500" signifie $P(M) = 0,002$. Pour montrer que $P(S) = 0,02192$, l'application de la formule des probabilités totales est requise.

La seconde partie introduit une loi binomiale. Bien que le mot ne soit pas toujours explicitement cité dans le texte, le passage successif de deux personnes avec une probabilité fixe et indépendante de "sonnerie" définit un schéma de Bernoulli. L'espérance $E(X) = n \times p$ doit être interprétée comme le nombre moyen de fois où le portique sonne sur un échantillon donné.

Exercice 3 : Suites Numériques et Algorithmique

L'exercice porte sur la réduction des déchets, un thème classique de modélisation par les suites géométriques.

Pièges à éviter : Une réduction de 5 % correspond à un coefficient multiplicateur de $0,95$ (et non $0,05$). La suite $(d_n)$ est donc géométrique de raison $q = 0,95$ et de premier terme $d_0 = 6000$.

Pour la somme totale des déchets entre 2019 et 2023, il faut calculer la somme des 5 premiers termes : $S = d_0 \times \frac{1-q^5}{1-q}$. Enfin, la partie Algorithmie demande de compléter une boucle "Tant que" (While). La condition d'arrêt doit être liée au seuil de réduction de 40 % (soit quand les déchets sont encore supérieurs à 60 % de la valeur initiale).

Exercice 4 : Analyse de fonction (Modèle de concentration)

Le dernier exercice porte sur l'étude d'une fonction combinant polynôme et exponentielle : $f(x) = 6x e^{-x}$ (ou $6x/e^x$).

Conseils méthodologiques : 1. Dérivation : Utilisez la règle du quotient ou du produit. L'expression fournie dans l'énoncé est une aide précieuse pour vérifier vos calculs. 2. Variations : Le signe de $f'(x)$ dépend uniquement du numérateur $(6-6x)$ car l'exponentielle est toujours positive. 3. Optimisation : Le maximum est atteint là où la dérivée s'annule et change de signe (ici en $x=1$). 4. Interprétation : La dernière question demande d'utiliser le tableau de variations pour vérifier si la concentration redescend en dessous de 2 mg/L après avoir atteint son pic. C'est un exercice de résolution d'inéquation par balayage ou lecture graphique.

Conclusion

Ce sujet 28 est complet et représentatif des attendus de la Première Spécialité Mathématiques. Pour réussir, l'élève doit maîtriser l'étude de fonctions (dérivées, exponentielles), les suites géométriques et la lecture d'un arbre de probabilités. La capacité à traduire un problème concret en modèle mathématique (comme dans l'exercice 4) est la clé pour obtenir une excellente note.