Introduction : Un panorama complet du programme de Première Spécialité

Le Sujet 59 de l'année 2020 pour l'épreuve de spécialité mathématiques en classe de Première constitue un excellent support de révision. Il balaie un spectre très large du programme, allant de l'algorithmie Python à la géométrie repérée, en passant par l'analyse de fonctions avec l'exponentielle et les probabilités conditionnelles. Ce sujet est équilibré : il demande à la fois une maîtrise technique des formules de base et une capacité à modéliser des situations concrètes (comme le dépistage d'une maladie ou l'architecture d'un centre commercial).

Exercice 1 : QCM Multi-thématique (Suites, Python et Trigonométrie)

Cet exercice de 5 points nécessite une rapidité d'exécution et une connaissance précise du cours. Les suites arithmétiques et géométriques ouvrent le bal. Pour la Question 1, il s'agit d'appliquer la formule du terme général $u_n = u_0 + n \times r$. L'erreur classique serait d'utiliser $n-1$ si le premier terme était $u_1$, mais ici on part de $u_0$. Pour la Question 2, la somme des termes d'une suite géométrique demande une vigilance sur l'exposant : le nombre de termes de $v_0$ à $v_{37}$ est bien 38.

La partie Python (Question 3) teste la compréhension des boucles. Le piège récurrent en algorithmique est la borne supérieure de la fonction range(). Pour sommer jusqu'à 100 inclus, il faut utiliser range(101), car la borne supérieure est exclue en Python. Enfin, la trigonométrie (Questions 4 et 5) demande de jongler entre la relation fondamentale $\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1$ et la mesure principale. Dans la question 4, le choix entre $0,6$ et $-0,6$ pour le sinus se joue sur l'intervalle donné $[-\pi/2 ; 0]$, où le sinus est nécessairement négatif.

Exercice 2 : Probabilités Conditionnelles et Arbres Pondérés

L'exercice de probabilités se concentre sur un classique : les tests médicaux. La première étape cruciale est la construction de l'arbre pondéré. Les élèves doivent distinguer la probabilité de l'événement (la prévalence de la maladie de 1,5 %) des probabilités conditionnelles (le test est positif *sachant que* la personne est malade).

Les pièges à éviter :

• Confondre $P(A \cap T)$ et $P_A(T)$. La question 1 demande l'intersection, soit le produit des probabilités le long d'une branche.
• Oublier la formule des probabilités totales pour la question 2.

La question 3 introduit la notion de valeur prédictive. Calculer $P_T(\overline{A})$ permet de comprendre le concept de "faux positif". Dans un contexte médical, un résultat élevé ici montre qu'un test positif ne signifie pas toujours que l'on est malade, un point de réflexion critique essentiel pour un futur scientifique.

Exercice 3 : Analyse, Dérivation et Exponentielle

Cet exercice porte sur l'étude d'une fonction produit du type $u(x)e^x$. La dérivation est l'outil central ici. Pour démontrer l'expression de $f'(x)$, il faut appliquer scrupuleusement la règle $(uv)' = u'v + uv'$. L'avantage de la fonction exponentielle est qu'elle se met systématiquement en facteur, laissant apparaître un polynôme du second degré ($x^2 - 0,5x - 1,5$).

L'étude des variations de $f$ dépend uniquement du signe de ce trinôme, puisque $e^x$ est toujours strictement positif. Les élèves doivent donc calculer le discriminant $\Delta$ pour trouver les racines. La deuxième partie de l'exercice lie l'analyse à la géométrie via la tangente. L'équation $y = f'(a)(x-a) + f(a)$ doit être connue par cœur. L'utilisation de la calculatrice pour trouver l'intersection entre la courbe et la tangente (point P) prépare aux méthodes numériques de résolution d'équations.

Exercice 4 : Géométrie Repérée et Produit Scalaire

L'exercice final applique la géométrie à un plan d'architecte. La première partie demande de manipuler l'équation d'un cercle centré à l'origine : $x^2 + y^2 = R^2$. Vérifier l'appartenance d'un point à une droite peut se faire par la colinéarité des vecteurs ou par l'équation de droite.

La question sur le produit scalaire $\vv{AG} \cdot \vv{AO}$ est particulièrement intéressante. Elle sert à tester la projection orthogonale. Si le point O était le plus proche de G sur la droite (AD), alors le vecteur $\vv{GO}$ serait orthogonal au vecteur directeur $\vv{AD}$. Le produit scalaire est l'outil le plus efficace pour vérifier l'orthogonalité sans avoir à calculer des distances complexes. C'est une application directe de la géométrie analytique au service de l'optimisation de trajet (Camille voulant s'abriter au plus vite).

Conclusion et Conseils Méthodologiques

Pour réussir ce type de sujet, la clé est la rigueur rédactionnelle, particulièrement en probabilités et en analyse. En spécialité mathématiques, il ne suffit pas de trouver le résultat ; il faut justifier l'utilisation d'un théorème (ex: théorème des probabilités totales). Pour les suites et le QCM, l'entraînement régulier permet d'acquérir des automatismes qui font gagner un temps précieux pour les exercices de réflexion comme l'exercice 4.