Analyse de l'énoncé

Cet exercice porte sur la modélisation d'un phénomène physique (le rebond d'une balle) à l'aide d'une suite numérique. La clé de la résolution réside dans la compréhension qu'une variation en pourcentage (ici une perte de 25 %) se traduit mathématiquement par un coefficient multiplicateur. C'est l'essence même d'une suite géométrique.

Points de vigilance et notions de cours

• Le coefficient multiplicateur : Une baisse de 25 % correspond à multiplier par \((1 - 0,25)\), soit \(0,75\). Ne confondez pas la valeur perdue avec le reste.
• Nature de la suite : Pour justifier qu'une suite n'est pas arithmétique, il suffit de montrer que la différence entre deux termes consécutifs n'est pas constante.
• Calcul de terme général : Pour une suite géométrique \((h_n)\), on utilise la formule \(h_n = h_0 \times q^n\).
• Conversion d'unités : L'énoncé mélange mètres et centimètres. Il est crucial de convertir 10 cm en 0,1 m pour l'algorithme Python.

Correction détaillée

1. Calcul de \(h_1\) et \(h_2\) :
La balle perd 25 % de sa hauteur. Elle conserve donc 75 % de sa hauteur précédente.
\(h_1 = h_0 \times 0,75 = 3 \times 0,75 = 2,25\) m.
\(h_2 = h_1 \times 0,75 = 2,25 \times 0,75 = 1,6875\) m.

2. Suite arithmétique ?
\(h_1 - h_0 = 2,25 - 3 = -0,75\).
\(h_2 - h_1 = 1,6875 - 2,25 = -0,5625\).
Les différences ne sont pas égales, donc la suite n'est pas arithmétique.

3. Nature de la suite :
Chaque terme s'obtient en multipliant le précédent par \(0,75\). \((h_n)\) est donc une suite géométrique de premier terme \(h_0 = 3\) et de raison \(q = 0,75\).

4. Hauteur après 6 rebonds :
On utilise la formule \(h_6 = 3 \times 0,75^6\).
\(h_6 \approx 0,53393\) m. Arrondi au cm, la hauteur est de 53 cm.

5. Algorithme Python :
L'objectif est de trouver \(n\) tel que \(h_n \le 0,1\) (soit 10 cm).
Ligne 4 : while h > 0.1: (on continue tant que la hauteur est supérieure au seuil).
Ligne 5 : h = h * 0.75 (on applique le coefficient de rebond).