Analyse de l'énoncé
Cet exercice de Première Spécialité porte sur deux piliers du programme : les suites géométriques et l'algorithmique en Python. Le contexte est concret : l'évolution annuelle du loyer d'un appartement. La difficulté réside dans la transition entre le loyer mensuel (\(u_n\)) et le loyer annuel cumulé traité par le script Python (le coefficient \(7800\) correspond à \(650 \times 12\)).
Points de vigilance et notions requises
- Suites Géométriques : Une augmentation en pourcentage se traduit par un coefficient multiplicateur : \(1 + \frac{1,52}{100} = 1,0152\).
- Indice \(n\) : L'année \(2019+n\). Pour 2027, \(n = 2027 - 2019 = 8\).
- Python : Comprendre que la boucle
while n <= A inclut la borne supérieure. La valeur \(7800\) dans la boucle représente le loyer annuel de l'année de référence (\(u_0 \times 12\)).
Correction détaillée et guide de résolution
Question 1 : Modélisation par une suite
a) Le loyer en 2020 correspond à \(u_1\). On a \(u_1 = 650 \times 1,0152 = 659,88\) €. L'arrondi à l'unité est de \(660\) €.
b) Puisque chaque terme s'obtient en multipliant le précédent par un nombre constant \(1,0152\), la suite \((u_n)\) est une suite géométrique de raison \(q = 1,0152\) et de premier terme \(u_0 = 650\).
c) Pour l'année 2027, \(n = 8\). On utilise la formule du terme général : \(u_n = u_0 \times q^n\).
\(u_8 = 650 \times 1,0152^8 \approx 732,95\). Le loyer mensuel pour 2027 sera donc d'environ \(733\) €.
Question 2 : Algorithmique et cumul
a) somme(1) exécute la boucle pour \(n=0\) et \(n=1\). Cela calcule la somme des loyers annuels pour 2019 et 2020. Le résultat \(15718.56\) représente le montant total perçu par le propriétaire sur ces deux premières années.
b) Pour obtenir la somme de 2022 (\(n=3\)) à 2027 (\(n=8\)), il faut soustraire la somme des premières années (2019 à 2021) de la somme totale (2019 à 2027).
Dans le tableau, nous avons :
- somme(8) (2019 à 2027) = \(74623,0418\)
- somme(2) (2019 à 2021 inclus, car \(n=0, 1, 2\)) = \(23757,4821\)
Calcul : \(74623 - 23757 = 50866\) € (arrondi à l'unité).