Analyse de l'énoncé
Cet exercice de mathématiques de Première Spécialité porte sur la modélisation d'une situation réelle (l'évolution du nombre de diabétiques en France) à l'aide des suites numériques et d'un script Python. L'énoncé introduit une croissance annuelle de 2 %, ce qui est le marqueur caractéristique d'une progression géométrique. L'enjeu est de savoir passer d'un taux d'évolution à un coefficient multiplicateur, de manipuler la forme explicite d'une suite et d'interpréter un algorithme de seuil.
Points de vigilance et notions requises
- Coefficient multiplicateur : Une augmentation de 2 % correspond à multiplier par $1 + \frac{2}{100} = 1,02$.
- Suites Géométriques : Reconnaître la forme $u_{n+1} = u_n \times q$ et connaître la formule du terme général $u_n = u_0 \times q^n$.
- Algorithmique : Comprendre le fonctionnement d'une boucle
while (Tant que) qui s'arrête dès que la condition n'est plus vérifiée. - Décalage d'indice : Bien identifier que $n=0$ correspond à 2019 pour ne pas commettre d'erreur sur l'année cible.
Correction détaillée et guide de résolution
1. Justification de la valeur en 2021 :
En 2019 ($n=0$), $u_0 = 3\,300\,000$. En 2020 ($n=1$), $u_1 = 3\,300\,000 \times 1,02 = 3\,366\,000$. En 2021 ($n=2$), $u_2 = 3\,366\,000 \times 1,02 = 3\,433\,320$. La valeur est donc bien vérifiée.
2. Nature de la suite :
Chaque terme se déduit du précédent en multipliant par $1,02$. La suite $(u_n)$ est donc une suite géométrique de premier terme $u_0 = 3\,300\,000$ et de raison $q = 1,02$.
3. Expression de $u_n$ en fonction de $n$ :
D'après le cours sur les suites géométriques, on a $u_n = u_0 \times q^n$.
Soit : $u_n = 3\,300\,000 \times 1,02^n$.
4. Calcul pour l'année 2025 :
L'année 2025 correspond à $n = 2025 - 2019 = 6$.
Calculons $u_6$ : $u_6 = 3\,300\,000 \times 1,02^6 \approx 3\,716\,340$.
En 2025, environ $3\,716\,340$ personnes seraient atteintes selon ce modèle.
5. Interprétation de l'algorithme Python :
La fonction seuil(S) calcule le nombre d'années nécessaires pour que le nombre de malades dépasse la valeur $S$. L'exécution pour $S = 5\,000\,000$ renvoie 21. Cela signifie qu'en $2019 + 21 = 2040$, le nombre de diabétiques en France dépassera pour la première fois les 5 millions selon ce modèle.