Analyse de l'énoncé

Cet exercice complet de Première Spécialité Mathématiques porte sur la modélisation de l'évolution du niveau d'un lac. Il se divise en deux approches complémentaires : un modèle discret utilisant les suites géométriques et un modèle continu reposant sur la fonction exponentielle. Cette structure est classique des sujets d'examen, car elle permet de tester la capacité de l'élève à passer d'un modèle à l'autre tout en mobilisant des compétences en algorithmie Python.

Points de vigilance et notions requises

• Suites : Il faut maîtriser le lien entre un taux d'évolution (baisse de 1 %) et le coefficient multiplicateur associé ($1 - 0,01 = 0,99$).
• Python : La compréhension de la boucle while est essentielle. Il faut savoir identifier la condition d'arrêt (ici, tant que le niveau est suffisant pour produire de l'énergie).
• Dérivation : La dérivation de fonctions de type $e^{at+b}$ est une compétence fondamentale. Rappel : la dérivée de $e^{ut}$ est $u'e^{ut}$.
• Analyse graphique : Savoir tracer une droite horizontale de référence ($y = 1020$) pour déterminer une intersection.

Correction Détaillée

Partie A : Modèle discret

1. Calcul de $u_1$ : $u_1 = u_0 \times 0,99 = 1100 \times 0,99 = 1089$. En 2021, le niveau du lac sera de 1089 mètres.
2. a. Relation de récurrence : Pour tout $n$, $u_{n+1} = 0,99 u_n$.
b. Nature : $(u_n)$ est une suite géométrique de premier terme $u_0 = 1100$ et de raison $q = 0,99$.
c. Formule explicite : $u_n = 1100 \times 0,99^n$.
3. Calcul pour 2028 : 2028 correspond à $n = 8$. Le calcul est $1100 \times 0,99^8$.
4. Algorithme Python :
while u >= 1020:
    u = u * 0.99

Partie B : Modèle continu

1. Cohérence : $f(0) = 1050 \times e^{0} + 50 = 1050 + 50 = 1100$. Le modèle est cohérent avec le niveau initial en 2020.
2. Dérivée : $f(t) = 1050 e^{-0,01t} + 50$. En utilisant la règle $(e^{at})' = a e^{at}$, on obtient $f'(t) = 1050 \times (-0,01) e^{-0,01t} = -10,5 e^{-0,01t}$.
3. Variations : Pour tout $t$, $e^{-0,01t} > 0$ et $-10,5 < 0$, donc $f'(t) < 0$. La fonction $f$ est strictement décroissante sur $[0 ; +\infty[$.
4. Lecture graphique : En traçant la droite $y = 1020$, on cherche l'abscisse du point d'intersection avec $\mathcal{C}_f$. On lit environ $t \approx 7,5$, ce qui correspond à l'année 2027 ou 2028 selon l'interprétation de l'énoncé.