Le sujet 7 de l'année 2020 pour la spécialité Mathématiques en classe de Première est un excellent support de révision pour les élèves souhaitant consolider leurs bases sur le programme de 1ère. Ce sujet, initialement conçu pour les épreuves communes (E3C), balaie une large partie du programme : de la géométrie analytique aux probabilités, en passant par l'étude de suites et la dérivation. Globalement, ce sujet présente une difficulté équilibrée, idéale pour tester ses réflexes méthodologiques avant un contrôle de fin de chapitre ou un examen blanc.

Exercice 1 : QCM et Géométrie Analytique, Trigonométrie

Le premier exercice est un Questionnaire à Choix Multiples (QCM) qui exige une grande rigueur. Les questions 1 et 2 portent sur la géométrie repérée. La première question demande de vérifier l'appartenance d'un point à une droite définie par deux points E et F. Le piège classique est de se tromper dans le calcul du coefficient directeur. La deuxième question concerne les vecteurs normaux ; rappelez-vous que pour une droite d'équation $ax + by + c = 0$, un vecteur normal est $\vec{n}(a; b)$. Ici, l'équation est sous forme réduite $y = mx + p$, il faut donc d'abord la transposer sous forme cartésienne ($2x + y - 4 = 0$).

Les questions 3 à 5 abordent le produit scalaire et la trigonométrie. Pour le produit scalaire dans le carré, la méthode de la projection orthogonale est souvent la plus rapide. En trigonométrie, la gestion des mesures principales pour placer $14\pi/3$ sur le cercle est cruciale : $14\pi/3 = 12\pi/3 + 2\pi/3 = 4\pi + 2\pi/3$. Le point image est donc le même que celui de $2\pi/3$. Enfin, la relation fondamentale $\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1$ permet de trouver $\cos(x)$, mais attention au signe ! Sur l'intervalle $[\pi/2 ; \pi]$, le cosinus est négatif.

Exercice 2 : Probabilités Conditionnelles et Variables Aléatoires

Cet exercice de probabilités est très classique dans sa structure mais demande une lecture attentive de l'énoncé. La construction d'un arbre pondéré est l'étape indispensable pour ne pas s'embrouiller dans les données.

• Notions clés : Probabilités conditionnelles, formule des probabilités totales.
• Pièges à éviter : Confondre $P(A \cap C)$ et $P_A(C)$. L'énoncé dit "Parmi les acheteurs qui ont souscrit... 20% ont acheté la coque", ce qui traduit une probabilité conditionnelle ($P_A(C) = 0,2$).
• Conseil méthodologique : Pour la question sur l'espérance (dépense moyenne), n'oubliez pas d'inclure le prix de base du téléphone (800 €) dans les valeurs de votre variable aléatoire $X$. Les valeurs possibles seront 800 (rien), 850 (assurance seule), 820 (coque seule) et 870 (les deux).

Exercice 3 : Suites Numériques et Algorithmique Python

L'exercice 3 compare une suite explicite $u_n$ et une suite récurrente $v_n$. L'étude des variations de $u_n$ via la fonction $f(x)$ est une méthode standard. Il faut dériver $f(x)$ et montrer que $f'(x) > 0$.
Le point fort de cet exercice est l'intégration de Python. L'algorithme utilise une boucle while pour trouver le rang $n$ à partir duquel la proposition de Camille devient fausse. Si le programme renvoie 11, cela signifie qu'à $n=11$, la condition $u < v$ n'est plus vérifiée. C'est Dominique qui a raison, car l'affirmation "pour tout $n$, $u_n < v_n$" est invalidée par ce contre-exemple.

Exercice 4 : Analyse et Dérivation (Tangentes)

L'exercice final porte sur la dérivation. La première partie est une lecture graphique de racines (points d'intersection avec l'axe des abscisses). La question 2 demande de vérifier l'équation d'une tangente. Rappelez-vous la formule : $y = f'(a)(x-a) + f(a)$.
La question la plus délicate est la 3.b : déterminer un autre point de la courbe où la tangente passe par le point E(1; 5). Soit $a$ l'abscisse de ce point. La tangente en $a$ a pour équation $y = f'(a)(x-a) + f(a)$. Pour que cette droite passe par E(1; 5), les coordonnées de E doivent vérifier l'équation. Cela mène à une équation du second degré en $a$ qu'il faudra résoudre. C'est une question de type "problème ouvert" qui valorise les bons élèves.

Conclusion

En résumé, ce sujet 7 est complet. Il demande de maîtriser les techniques de calcul (dérivées, produits scalaires) tout en gardant une capacité d'analyse sur des problèmes plus ouverts (Python, tangentes extérieures). Pour réussir, entraînez-vous à rédiger proprement vos arbres de probabilités et vos calculs de limites de suites.