Analyse de l'énoncé

Cet exercice de mathématiques pour la classe de Première Spécialité porte sur la modélisation de phénomènes d'évolution à l'aide des suites numériques. On y traite deux types d'évolutions classiques : l'évolution linéaire (gain fixe de pions blancs) et l'évolution en pourcentage (baisse proportionnelle de pions noirs).

Points de vigilance et notions de cours

• Suite Arithmétique : Utilisée pour traduire un gain constant. La relation de récurrence est \(u_{n+1} = u_n + r\). La forme explicite est \(u_n = u_0 + n \times r\).
• Suite Géométrique : Utilisée pour une variation en pourcentage. Une baisse de \(2\%\) correspond à multiplier par un coefficient multiplicateur \(C_M = 1 - \frac{2}{100} = 0,98\). La forme explicite est \(v_n = v_0 \times q^n\).
• Lecture de tableur : Il faut être attentif à la correspondance entre l'indice \(n\) et le numéro de la ligne. Ici, l'indice \(n=45\) se trouve à la ligne 47.

Correction détaillée

1. Étude de la suite \((u_n)\) : Chaque minute, le personnage gagne 10 pions. On passe donc d'un terme au suivant en ajoutant 10. La suite \((u_n)\) est donc une suite arithmétique de premier terme \(u_0 = 0\) et de raison \(r = 10\).
Son expression fonctionnelle est : \(u_n = 0 + 10n = 10n\).

2. Étude de la suite \((v_n)\) :
a) Une diminution de \(2\%\) revient à multiplier par \(1 - 0,02 = 0,98\). Ainsi, \(v_1 = v_0 \times 0,98 = 1000 \times 0,98 = 980\).
b) On passe d'un terme au suivant en multipliant toujours par le même réel \(0,98\). La suite \((v_n)\) est donc géométrique de premier terme \(v_0 = 1000\) et de raison \(q = 0,98\).
Son expression fonctionnelle est : \(v_n = 1000 \times 0,98^n\).

3. Conclusion sur le jeu : La partie dure 45 minutes. Le joueur gagne si \(u_{45} \ge v_{45}\). En regardant la ligne 47 du tableau (correspondant à \(n=45\)), on lit : \(u_{45} = 450\) et \(v_{45} = 403\).
Puisque \(450 \ge 403\), Lucas gagne la partie.