Analyse de l'énoncé : Modéliser un périple avec les suites
Cet exercice de spécialité mathématiques porte sur l'application concrète des suites géométriques et de l'algorithmie. La situation décrit un globe-trotter dont la performance physique diminue de manière constante (2 % par jour). Cette diminution en pourcentage est l'indicateur clé d'une évolution géométrique. L'objectif final est de calculer une somme accumulée (distance totale) pour atteindre un seuil de 2000 km.
Points de vigilance et notions de cours
- Le coefficient multiplicateur : Une baisse de 2 % correspond à multiplier par $1 - \frac{2}{100} = 0,98$. C'est la raison $q$ de notre suite.
- Premier terme et indice : Attention, ici la suite commence à $n=1$ avec $d_1 = 50$. L'expression du terme général sera donc $d_n = d_1 \times q^{n-1}$.
- Somme des termes : La distance totale parcourue après $n$ jours est donnée par $S_n = d_1 + d_2 + ... + d_n$.
- Logique algorithmique : Dans le script Python, il faut identifier la condition d'arrêt de la boucle
While. On cherche à atteindre 2000 km, donc on continue tant que la somme $S$ est inférieure à 2000.
Correction détaillée et guide de résolution
1. Calcul de la distance le deuxième jour
Le deuxième jour, la distance diminue de 2 %. On calcule donc :
$d_2 = d_1 \times (1 - 0,02) = 50 \times 0,98 = 49$ km.
2. Nature de la suite $(d_n)$
Pour passer d'un jour au suivant, on multiplie toujours la distance par $0,98$. La suite $(d_n)$ est donc une suite géométrique de premier terme $d_1 = 50$ et de raison $q = 0,98$.
3. Expression de $d_n$ en fonction de $n$
D'après le cours sur les suites géométriques débutant à $n=1$ :
$d_n = d_1 \times q^{n-1}$
Soit : $d_n = 50 \times 0,98^{n-1}$ pour tout $n \geqslant 1$.
4. Compléter le programme Python
Le but est de cumuler les distances jusqu'à 2000 km.
La condition de la boucle While doit être S < 2000.
À chaque itération, on incrémente le compteur de jours : j = j + 1.
While S < 2000 :
u = 0,98 * u
S = S + u
j = j + 1
5. Utilisation du tableur
En observant la colonne C (la somme $S$), on cherche la première valeur supérieure ou égale à 2000.
- À la ligne 80 ($j=79$), la distance cumulée est de 1993 km (insuffisant).
- À la ligne 81 ($j=80$), la distance cumulée est de 2003 km.
Le globe-trotter atteindra donc son objectif au 80ème jour.