Analyse détaillée du QCM de Première Spécialité (Sujet 38 - 2020)

Cet exercice sous forme de QCM est un excellent indicateur de la maîtrise des outils de base du programme de Première Spécialité Mathématiques. Il traite de cinq domaines distincts : les inéquations, la trigonométrie, l'équation de droite, la dérivation et l'équation de cercle.

1. Étude de signe du second degré

Pour l'inéquation \(-3(x-2)(x+1) > 0\), nous sommes en présence d'un trinôme sous forme factorisée. Les racines sont \(x_1 = 2\) et \(x_2 = -1\). Le coefficient dominant \(a = -3\) est négatif. Le cours nous enseigne qu'un trinôme est du signe de \(a\) à l'extérieur des racines et du signe opposé à l'intérieur. Ici, il est positif (signe de \(-a\)) entre \(-1\) et \(2\). L'ensemble des solutions est donc \(]-1 ; 2[\).

2. Réduction trigonométrique

Le cercle trigonométrique est l'outil indispensable ici. La fonction cosinus est périodique de période \(2\pi\). Ainsi, \(\cos(x + 3\pi) = \cos(x + \pi + 2\pi) = \cos(x + \pi)\). Par les formules de symétrie centrale par rapport à l'origine sur le cercle, on sait que \(\cos(x + \pi) = -\cos(x)\). La réponse exacte est donc \(-\cos(x)\).

3. Géométrie analytique : Droites et vecteurs

Un vecteur normal \(\vec{v}(a ; b)\) induit une équation cartésienne de type \(ax + by + c = 0\). Avec \(\vec{v}(2 ; -3)\), on obtient \(2x - 3y + c = 0\). En substituant les coordonnées du point \(A(1 ; 2)\), nous avons \(2(1) - 3(2) + c = 0\), soit \(2 - 6 + c = 0\), d'où \(c = 4\). L'équation est \(2x - 3y + 4 = 0\). En isolant \(y\), on retrouve la forme réduite \(y = \frac{2}{3}x + \frac{4}{3}\).

4. Dérivation et pente de tangente

Le coefficient directeur de la tangente en un point d'abscisse \(a\) est la valeur de la dérivée \(f'(a)\). Pour \(f(x) = \frac{x^2}{x+1}\), on utilise la règle du quotient \((u/v)' = (u'v - uv')/v^2\) avec \(u(x) = x^2\) et \(v(x) = x+1\). On obtient \(f'(x) = \frac{2x(x+1) - 1(x^2)}{(x+1)^2} = \frac{x^2 + 2x}{(x+1)^2}\). En remplaçant \(x\) par 1, on trouve \(f'(1) = \frac{1^2 + 2(1)}{(1+1)^2} = \frac{3}{4}\).

5. Équation de cercle

L'équation \(x^2 - 2x + y^2 + 4y = 4\) doit être transformée par la méthode de complétion du carré : \((x-1)^2 - 1 + (y+2)^2 - 4 = 4\), ce qui donne \((x-1)^2 + (y+2)^2 = 9\). On reconnaît l'équation d'un cercle de centre \((1 ; -2)\) et de rayon \(R = \sqrt{9} = 3\).