Analyse de l'énoncé et thématiques abordées

Cet exercice sous forme de Questionnaire à Choix Multiples (QCM) balaye une grande partie du programme de mathématiques de la classe de Première Spécialité. Il est composé de 5 questions indépendantes qui évaluent la compréhension conceptuelle plutôt que la capacité à effectuer de longs calculs. Les thèmes centraux sont : l'étude des polynômes du second degré, la résolution d'équations trigonométriques, l'interprétation graphique du nombre dérivé, l'étude des variations d'une fonction via sa dérivée, et les propriétés fondamentales de la fonction exponentielle.

Points de vigilance et prérequis

• Second degré : Il est crucial de ne pas confondre le signe du discriminant $\Delta$ avec le signe des racines. Un discriminant positif garantit l'existence de deux racines, mais leur signe dépend des coefficients du polynôme.
• Trigonométrie : La lecture sur le cercle trigonométrique et la connaissance des valeurs remarquables ($\frac{1}{2}$, $\frac{\sqrt{2}}{2}$, etc.) sont indispensables, tout comme la prise en compte de l'intervalle d'étude donné.
• Dérivation graphique : Rappelez-vous que $f'(a)$ est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse $a$.
• Fonction Exponentielle : Maîtrisez son ensemble de définition ($\mathbb{R}$), son ensemble image ($]0; +\infty[$) et les règles de dérivation des fonctions composées du type $e^{ax+b}$.

Correction détaillée et guide de résolution

Question 1 : La réponse correcte est la c. Par définition, si un polynôme est strictement positif sur $\mathbb{R}$, il ne s'annule jamais, donc il n'admet aucune racine réelle. La réponse 'a' est fausse car deux racines peuvent être négatives (ex: $(x+1)(x+2)$).

Question 2 : La réponse correcte est la b. L'équation $\cos x = -\frac{1}{2}$ admet pour solutions $x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi$ ou $x = -\frac{2\pi}{3} + 2k\pi$. Dans l'intervalle $[0; \pi[$, seule la valeur $\frac{2\pi}{3}$ convient.

Question 3 : Analysons la tangente au point B(4; -1). La tangente passe par les points (4; -1) et (6; 0). Son coefficient directeur est $m = \frac{0 - (-1)}{6 - 4} = \frac{1}{2} = 0,5$. Ainsi, $f'(4) = 0,5$. La réponse correcte est la d.

Question 4 : Calculons la dérivée : $g'(x) = 3x^2 - 0,0012$. Etudions le signe de $g'$ : $g'(x) = 0 \iff x^2 = \frac{0,0012}{3} = 0,0004 \iff x = \sqrt{0,0004} = 0,02$ ou $x = -0,02$. Le coefficient de $x^2$ est positif, donc $g'(x)$ est négative entre les racines $[-0,02 ; 0,02]$. La fonction $g$ est donc décroissante sur cet intervalle. Réponse d.

Question 5 : La fonction exponentielle est définie pour tout nombre réel $x$. La réponse correcte est la d. La proposition 'a' est fausse car $(\text{e}^x)^2 = 1 \iff \text{e}^{2x} = \text{e}^0 \iff 2x = 0 \iff x = 0$ (une seule solution).