Analyse de l'énoncé sur la géométrie repérée

Cet exercice de Première Spécialité, issu des sessions de 2020, mobilise des outils fondamentaux de la géométrie analytique. Il s'articule autour de l'utilisation du produit scalaire dans un repère orthonormé pour déterminer des distances, des angles et des équations de droites. L'objectif final est la détermination des coordonnées d'un projeté orthogonal, une compétence classique des examens.

Points de vigilance et notions requises

Pour réussir cet exercice, plusieurs prérequis sont indispensables :

• La formule du produit scalaire avec les coordonnées : $\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy'$.
• La relation fondamentale entre produit scalaire et norme : $\vec{u} \cdot \vec{v} = ||\vec{u}|| \times ||\vec{v}|| \times \cos(\theta)$.
• Le calcul d'une norme dans un repère orthonormé : $||\vec{AB}|| = \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2}$.
• L'équation cartésienne de droite sous la forme $ax + by + c = 0$.
• La résolution de systèmes linéaires de deux équations à deux inconnues.

Guide de résolution détaillé

1. Calculs scalaires et trigonométrie :
On commence par définir les vecteurs $\vec{AB}(-2; 4)$ et $\vec{AC}(1; 2)$. Le produit scalaire est $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = (-2) \times 1 + 4 \times 2 = 6$. Les normes sont $|\vec{AB}| = \sqrt{(-2)^2 + 4^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ et $|\vec{AC}| = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$.
En utilisant la formule du cosinus, $\cos(\widehat{BAC}) = \frac{6}{2\sqrt{5} \times \sqrt{5}} = \frac{6}{10} = 0,6$. À l'aide d'une calculatrice (Arccos), on trouve un angle d'environ $53^{\circ}$.

2. Équation de droite et projeté orthogonal :
Pour vérifier l'équation $2x + y - 3 = 0$, on remplace les coordonnées de A et B. Pour A(2; -1) : $2(2) + (-1) - 3 = 0$ (vrai). Pour B(0; 3) : $2(0) + 3 - 3 = 0$ (vrai). L'équation est correcte.
Enfin, pour le point H, il doit vérifier deux conditions :
1) H appartient à (AB), donc $2x_H + y_H - 3 = 0$.
2) $\vec{CH} \perp \vec{AB}$, donc $\vec{CH} \cdot \vec{AB} = 0$. Soit $(x_H - 3)(-2) + (y_H - 1)(4) = 0$, ce qui se simplifie en $-x_H + 2y_H + 1 = 0$.
En résolvant le système, on obtient $x_H = 1,4$ et $y_H = 0,2$ (ou $\frac{7}{5}$ et $\frac{1}{5}$).