Analyse de l'énoncé

Cet exercice de géométrie repérée mobilise des outils fondamentaux du programme de Première Spécialité. Il évalue la capacité de l'élève à utiliser les coordonnées pour caractériser des figures (triangle isocèle), calculer des mesures d'angles via le produit scalaire et vérifier les propriétés d'un projeté orthogonal.

Points de vigilance et notions requises

• Formule de la distance : Savoir calculer la distance entre deux points $M(x_M;y_M)$ et $N(x_N;y_N)$ avec $MN = \sqrt{(x_N-x_M)^2 + (y_N-y_M)^2}$.
• Produit scalaire : Utiliser la formule analytique $xx' + yy'$ et la formule trigonométrique $||u|| \times ||v|| \times \cos(\theta)$ pour isoler le cosinus d'un angle.
• Projeté orthogonal : Comprendre qu'un point $H$ est le projeté orthogonal de $B$ sur $(AC)$ si et seulement si $H$ appartient à $(AC)$ et les vecteurs $\vec{BH}$ et $\vec{AC}$ sont orthogonaux.

Correction détaillée

1. Le triangle ABC est-il isocèle en B ?
Calculons les longueurs $BA$ et $BC$ :
$BA = \sqrt{(x_A-x_B)^2 + (y_A-y_B)^2} = \sqrt{(-1-1)^2 + (-3-2)^2} = \sqrt{(-2)^2 + (-5)^2} = \sqrt{4+25} = \sqrt{29}$.
$BC = \sqrt{(x_C-x_B)^2 + (y_C-y_B)^2} = \sqrt{(7-1)^2 + (1-2)^2} = \sqrt{6^2 + (-1)^2} = \sqrt{36+1} = \sqrt{37}$.
Puisque $BA \neq BC$, le triangle ABC n'est pas isocèle en B.

2. Déterminer l'angle $\widehat{BAC}$ :
Utilisons le produit scalaire $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$.
$\vec{AB}(2 ; 5)$ et $\vec{AC}(8 ; 4)$.
$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 2 \times 8 + 5 \times 4 = 16 + 20 = 36$.
Par ailleurs, $AB = \sqrt{29}$ et $AC = \sqrt{8^2+4^2} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}$.
On a $\cos(\widehat{BAC}) = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{AB \times AC} = \frac{36}{\sqrt{29} \times \sqrt{80}}$.
À la calculatrice : $\widehat{BAC} \approx 41,6^\circ$.

3. H est-il le projeté orthogonal de B sur (AC) ?
Vérifions d'abord l'orthogonalité : $\vec{BH}(2,6-1 ; -1,2-2) = \vec{BH}(1,6 ; -3,2)$.
$\vec{BH} \cdot \vec{AC} = 1,6 \times 8 + (-3,2) \times 4 = 12,8 - 12,8 = 0$. L'orthogonalité est vérifiée.
Vérifions ensuite si $H \in (AC)$ : $\vec{AH}(3,6 ; 1,8)$. On remarque que $\vec{AH} = 0,45 \vec{AC}$ (car $3,6/8 = 0,45$ et $1,8/4 = 0,45$). Les vecteurs sont colinéaires, donc $H$ appartient à $(AC)$.
Conclusion : H est bien le projeté orthogonal de B sur (AC).