Introduction : Un sujet complet pour réviser la Première Spécialité

Le Sujet 62 de mai 2020 pour la spécialité mathématiques en classe de première constitue un excellent support de révision. Il balaie un spectre très large du programme, allant des fondamentaux du second degré à l'étude des suites géométriques, en passant par les probabilités conditionnelles et la fonction exponentielle. La difficulté globale est jugée moyenne, ce qui en fait un outil parfait pour valider l'acquisition des mécanismes de base avant d'aborder des exercices plus complexes.

Exercice 1 : QCM Multi-thématique

L'exercice 1 est un QCM de 5 points qui teste la rapidité et la précision sur des notions variées :

• Second degré : La fonction $f(x) = x^2 + 2x + c$ avec $c > 1$. Le calcul du discriminant $\Delta = 4 - 4c$ montre que $\Delta < 0$ puisque $c > 1$. Le coefficient de $x^2$ étant positif, la parabole ne coupe jamais l'axe des abscisses et reste toujours positive.
• Trigonométrie : Ici, l'utilisation de la relation fondamentale $\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1$ est requise. Le piège réside dans l'intervalle $[-\pi ; 0]$, où le sinus est nécessairement négatif ou nul.
• Produit scalaire : Dans un carré ABCD, les vecteurs $\vv{AB}$ et $\vv{AD}$ sont orthogonaux, donc leur produit scalaire est nul.
• Géométrie repérée : Pour trouver l'intersection d'une droite avec l'axe des abscisses, il suffit de poser $y = 0$ et de résoudre l'équation en $x$.
• Exponentielle : La manipulation des puissances et des propriétés algébriques de $e^x$ est cruciale. Rappelons que $e^x / e^{-x} = e^{x - (-x)} = e^{2x}$.

Conseil méthodologique : Dans un QCM sans point négatif, ne laissez jamais de case vide. Utilisez l'élimination pour augmenter vos chances.

Exercice 2 : Suites numériques et Python

Cet exercice porte sur la croissance d'une population de bactéries. C'est une application classique des suites géométriques.

Notions clés : Le taux d'augmentation de 15 % se traduit par un coefficient multiplicateur de $1,15$. La suite est donc géométrique de raison $q = 1,15$ et de premier terme $u_0 = 10000$.

Partie Python : L'algorithme présenté est une boucle standard pour calculer le $N$-ième terme. L'interprétation des résultats (valeurs extrêmement grandes) montre les limites d'un modèle mathématique dans un milieu fermé : la croissance exponentielle finit par être stoppée par le manque de ressources ou d'espace, ce que le modèle ne prévoit pas ici.

Piège à éviter : Pour la dernière question sur le pourcentage de diminution, attention à bien utiliser la formule : $((V_{finale} - V_{initiale}) / V_{initiale}) \times 100$. Passer de 200 000 à 4 000 représente une chute massive de 98 %.

Exercice 3 : Probabilités conditionnelles et variables aléatoires

Le contexte du judo permet d'aborder les probabilités totales et la construction d'un arbre pondéré.

Analyse : - $P(N) = 0,6$ et $P(\overline{N}) = 0,4$. - Les probabilités de victoire sont conditionnées par le grade de l'adversaire. La formule des probabilités totales permet d'affirmer que $P(G) = P(N \cap G) + P(\overline{N} \cap G)$.

Variable aléatoire : La dernière question introduit une variable $X$ suivant une loi de probabilité pour deux combats. Comme les combats sont indépendants et ont la même probabilité de succès (0,55), on peut dresser un tableau des issues (0, 1 ou 2 victoires). C'est une introduction douce à la loi binomiale.

Exercice 4 : Analyse et Fonction Exponentielle

Le dernier exercice modélise la dépréciation d'une voiture électrique. La fonction $f(x) = 35e^{-0,22x}$ est une fonction décroissante.

Dérivation : La dérivée est de la forme $(e^{ax})' = a e^{ax}$. Ici, $f'(x) = 35 \times (-0,22)e^{-0,22x} = -7,7e^{-0,22x}$. Puisque l'exponentielle est toujours positive, la dérivée est toujours négative, confirmant la décroissance du prix.

Résolution d'inéquation : Pour savoir quand le prix tombe sous les 10 000 €, il faut résoudre $35e^{-0,22x} < 10$. Cela nécessite l'usage du logarithme népérien (ou une recherche par balayage à la calculatrice si le log n'est pas encore maîtrisé). L'élève doit convertir le résultat décimal d'années en mois pour répondre précisément à la question.

Conclusion

Ce sujet 62 est très représentatif des épreuves communes de contrôle continu. Il demande une bonne maîtrise des outils de calcul (dérivées, suites) et une capacité à interpréter des résultats concrets (modélisation de bactéries ou de prix). Pour réussir, la rigueur dans la rédaction des calculs de probabilités et l'étude de signe des dérivées est primordiale.