Analyse de l'énoncé

Cet exercice de Première Spécialité Mathématiques porte sur deux piliers du programme de géométrie : la géométrie repérée (cercles et droites) et le produit scalaire. L'objectif est de mobiliser des outils algébriques pour résoudre des problèmes géométriques dans un repère orthonormé. On y retrouve la détermination d'une équation de cercle, l'utilisation du produit scalaire pour prouver l'orthogonalité, et la résolution de systèmes pour trouver des points d'intersection.

Points de vigilance et notions de cours

Pour réussir cet exercice, plusieurs compétences sont indispensables :

• Équation de cercle : Savoir qu'un cercle de centre $A(x_A; y_A)$ et de rayon $R$ a pour équation $(x - x_A)^2 + (y - y_A)^2 = R^2$.
• Vecteurs et Produit Scalaire : Maîtriser le calcul des coordonnées d'un vecteur $\vec{u}(x; y)$ et la formule analytique du produit scalaire : $\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy'$.
• Orthogonalité : Deux droites sont perpendiculaires si et seulement si le produit scalaire de leurs vecteurs directeurs respectifs est nul.
• Intersection : Comprendre que les coordonnées des points d'intersection d'une droite et d'un cercle doivent vérifier simultanément l'équation de la droite et celle du cercle.

Correction détaillée et guide de résolution

1. Équation du cercle $\mathscr{C}$ :
Le centre est $A(-2; 1)$ et il passe par $B(1; 2)$. Calculons le rayon au carré $R^2 = AB^2$.
$AB^2 = (1 - (-2))^2 + (2 - 1)^2 = 3^2 + 1^2 = 9 + 1 = 10$.
L'équation est donc $(x - (-2))^2 + (y - 1)^2 = 10$, soit $(x + 2)^2 + (y - 1)^2 = 10$.

2. Calcul du produit scalaire :
Calculons les coordonnées des vecteurs : $\vec{AB}(1 - (-2); 2 - 1) = \vec{AB}(3; 1)$ et $\vec{AE}(0 - (-2); -5 - 1) = \vec{AE}(2; -6)$.
$\vec{AB} \cdot \vec{AE} = (3 \times 2) + (1 \times (-6)) = 6 - 6 = 0$.

3. Interprétation géométrique :
Puisque le produit scalaire $\vec{AB} \cdot \vec{AE}$ est nul, les vecteurs sont orthogonaux. On en déduit que les droites $(AB)$ et $(AE)$ sont perpendiculaires en $A$.

4. Équation de la droite (AE) :
La droite passe par $A(-2; 1)$ et $E(0; -5)$. Son coefficient directeur est $m = \frac{-5 - 1}{0 - (-2)} = \frac{-6}{2} = -3$.
L'équation est de la forme $y = -3x + p$. En utilisant $E(0; -5)$, on trouve $p = -5$.
L'équation cartésienne est donc $3x + y + 5 = 0$.

5. Intersection de (AE) et $\mathscr{C}$ :
On injecte $y = -3x - 5$ dans l'équation du cercle :
$(x+2)^2 + (-3x - 5 - 1)^2 = 10 \Rightarrow (x+2)^2 + (-3x - 6)^2 = 10$.
$(x+2)^2 + 9(x+2)^2 = 10 \Rightarrow 10(x+2)^2 = 10 \Rightarrow (x+2)^2 = 1$.
On a deux solutions : $x+2 = 1 \Rightarrow x = -1$ et $x+2 = -1 \Rightarrow x = -3$.
En remplaçant dans $y = -3x - 5$, on obtient les points $M(-1; -2)$ et $N(-3; 4)$.