Analyse de l'énoncé
Cet exercice de niveau Première Spécialité Mathématiques propose une étude classique de fonction polynomiale du troisième degré couplée à une approche numérique. La première partie mobilise les outils de l'analyse (calcul de dérivée, factorisation et tableau de variations), tandis que la seconde partie explore la résolution approchée d'équations par l'algorithme de dichotomie programmé en Python.
Points de vigilance et notions requises
- Dérivation : Il faut maîtriser les formules de dérivation des puissances ($x^n$).
- Second degré : Le signe de la dérivée dépend de l'étude d'un trinôme. Savoir factoriser ou utiliser le discriminant est essentiel.
- Tangente : Se rappeler que le coefficient directeur de la tangente en un point d'abscisse $a$ est égal à $f'(a)$.
- Algorithmie : Comprendre la structure d'une boucle 'for' et le principe d'actualisation des bornes $[a, b]$ dans une recherche par balayage ou dichotomie.
Guide de résolution et correction
1. Étude de la fonction
a) Pour $f(x) = x^3 - x^2 - x - 1$, on calcule la dérivée : $f'(x) = 3x^2 - 2x - 1$. En développant l'expression proposée $3(x + 1/3)(x - 1)$, on obtient $3(x^2 - x + rac{1}{3}x - rac{1}{3}) = 3x^2 - 3x + x - 1 = 3x^2 - 2x - 1$. L'égalité est vérifiée.
b) Le signe de $f'(x)$ sur $[0; +\infty[$ : Les racines sont $-1/3$ (hors intervalle) et $1$. $f'(x)$ est négative sur $[0; 1]$ et positive sur $[1; +\infty[$. La fonction $f$ est donc décroissante sur $[0; 1]$ puis croissante sur $[1; +\infty[$.
c) On cherche $x$ tel que $f'(x) = 7$, soit $3x^2 - 2x - 1 = 7 \iff 3x^2 - 2x - 8 = 0$. Le discriminant vaut $\Delta = (-2)^2 - 4(3)(-8) = 100$. Les racines sont $x_1 = (2-10)/6 = -4/3$ (exclu) et $x_2 = (2+10)/6 = 2$. L'abscisse recherchée est $2$.
2. Algorithmique (Dichotomie)
L'algorithme divise l'intervalle par deux à chaque étape. Si l'image du milieu est négative, on déplace la borne inférieure $a$, sinon on déplace la borne supérieure $b$.
- Iteration $k=1$ : $x = (1,5+2)/2 = 1,75$. $f(1,75) \approx -0,45 < 0$. Donc $a = 1,75$, $b = 2$, Amplitude $0,25$.
- Iteration $k=2$ : $x = (1,75+2)/2 = 1,875$. $f(1,875) \approx 0,20 > 0$. Donc $a = 1,75$, $b = 1,875$, Amplitude $0,125$.
L'encadrement final de $x_0$ est $1,75 < x_0 < 1,875$.