Analyse de l'énoncé : Optimisation d'un coût de production
Cet exercice de mathématiques pour la classe de Première Spécialité porte sur l'étude d'une fonction de coût moyen de production. L'objectif est double : valider les compétences techniques de dérivation et appliquer ces outils à une situation concrète de gestion d'entreprise. On étudie ici une fonction rationnelle sur l'intervalle [1 ; 5].
Points de vigilance et notions requises
Pour réussir cet exercice, plusieurs notions du programme de Première Spécialité sont indispensables :
- La dérivation : Savoir utiliser la formule du quotient $(u/v)' = (u'v - uv')/v^2$ ou transformer l'expression pour dériver terme à terme.
- L'étude du second degré : Le calcul du discriminant $\Delta$ est nécessaire pour déterminer le signe d'un trinôme.
- Le lien entre signe de la dérivée et variations : Dresser un tableau de variations complet avec les bornes de l'intervalle.
- L'interprétation économique : Faire le lien entre l'extremum de la fonction et le minimum de production.
Guide de résolution détaillé
1. Calcul de l'image
On remplace $x$ par 2 dans $f(x)$. On obtient $f(2) = (0,5 \times 2^3 - 3 \times 2^2 + 2 + 16) / 2 = (4 - 12 + 2 + 16) / 2 = 10 / 2 = 5$. Le coût moyen pour 2 000 pièces est de 5 000 euros.
2. Dérivation de la fonction
En posant $u(x) = 0,5x^3 - 3x^2 + x + 16$ et $v(x) = x$, on applique la règle du quotient. Le calcul nous mène à $f'(x) = (x^3 - 3x^2 - 16) / x^2$. Il est crucial de ne pas faire d'erreur de signe lors de la soustraction du terme $uv'$.
3. Factorisation du numérateur
Pour vérifier l'égalité $(x-4)(x^2+x+4)$, la méthode la plus simple est de développer l'expression de droite. On retrouve bien $x^3 - 3x^2 - 16$. Cette étape est fondamentale pour l'étude du signe qui suit.
4. Tableau de variations
Sur $[1 ; 5]$, $x^2$ est toujours strictement positif. Le signe de $f'(x)$ dépend donc uniquement de ses facteurs au numérateur :
- $(x-4)$ s'annule en 4, est négatif avant et positif après.
- Le trinôme $x^2+x+4$ a un discriminant $\Delta = 1^2 - 4(1)(4) = -15$. Comme $\Delta < 0$ et le coefficient $a=1 > 0$, ce trinôme est toujours positif.
On en déduit que $f'(x)$ est négative sur $[1 ; 4]$ et positive sur $[4 ; 5]$. La fonction est donc décroissante puis croissante.
5. Conclusion économique
Le minimum est atteint pour $x=4$. L'entreprise doit donc produire 4 000 pièces pour minimiser son coût moyen. Le coût minimal est $f(4) = (0,5 \times 64 - 3 \times 16 + 4 + 16) / 4 = 4$. Soit 4 000 euros par millier de pièces.