Analyse de l'épreuve d'automatismes

Cet exercice de la session 2026 en Polynésie est caractéristique des épreuves d'automatismes en Première Spécialité. Il balaye un large spectre de compétences fondamentales : calcul numérique, gestion des pourcentages, résolution d'équations, manipulation de formules et lecture graphique. L'objectif est de vérifier l'acquisition des réflexes de base indispensables pour la suite du programme de mathématiques.

Points de vigilance et notions clés

Pour réussir cette épreuve, plusieurs compétences sont sollicitées :

• Pourcentages : Savoir passer d'un taux d'évolution à un coefficient multiplicateur (CM = 1 + r).
• Équations-Produits : Se rappeler qu'un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins des facteurs est nul.
• Manipulation littérale : Isoler une variable dans une formule physique (passage au carré et à la racine carrée).
• Fonction Inverse : Connaître l'allure de la courbe et résoudre graphiquement ou algébriquement des inéquations.
• Géométrie Repérée : Lire une ordonnée à l'origine et calculer un coefficient directeur sur un repère orthogonal.

Correction détaillée et Guide de résolution

Question 1 (Pourcentages) : Une augmentation de 30 % revient à multiplier par 1,30. On effectue $40 \times 1,3 = 52$. La réponse est (b).

Question 2 (Équations) : On résout $-0,5x + 3 = 0$ (soit $x = 3/0,5 = 6$) et $-5x - 4 = 0$ (soit $x = -4/5 = -0,8$). Les solutions sont 6 et -0,8. La réponse est (d).

Question 3 (Proportions) : Si 20 % de l'effectif total $N$ vaut 8, on a $0,2N = 8$, d'où $N = 8 / 0,2 = 40$. La réponse est (c).

Question 4 (Isoler une variable) : À partir de $E_C = \frac{1}{2}mv^2$, on multiplie par 2 et on divise par $m$ : $v^2 = \frac{2E_C}{m}$. Puisque la vitesse est positive, $v = \sqrt{\frac{2E_C}{m}}$. La réponse est (b).

Question 5 (Inéquations) : Graphiquement, on cherche les abscisses des points de la courbe situés au-dessus de la droite horizontale $y=2$. La fonction inverse est décroissante sur $]0 ; +\infty[$. Comme $1/0,5 = 2$, l'ensemble solution est $]0 ; 0,5]$. La réponse est (a).

Question 6 (Puissances) : On décompose $2^9$ en $2^2 \times 2^7$. On obtient $4 \times 2^7 \times 5^7 = 4 \times (2 \times 5)^7 = 4 \times 10^7$. La réponse est (b).

Question 7 (Équation de droite) : La droite descend, donc le coefficient directeur est négatif. L'ordonnée à l'origine est $5,2$. En observant la pente, pour un décalage de 8 unités en $x$, on descend de 4,8 unités en $y$ ($5,2 - 0,4$). $m = -4,8 / 8 = -0,6$. La réponse est (d).

Question 8 (Factorisation) : On reconnaît $a^2 - b^2$ avec $a=4x$ et $b=x+1$. L'expression devient $(4x - (x+1))(4x + (x+1)) = (3x - 1)(5x + 1)$. La réponse est (b).