Analyse de l'exercice : Un balayage complet du programme de Première

Cet exercice sous forme de QCM est un excellent test de fin d'année ou de préparation au baccalauréat pour les élèves de Première Spécialité. Il balaye cinq piliers fondamentaux du programme : la géométrie vectorielle, l'étude de signe d'un trinôme, les équations trigonométriques, l'algorithmique avec les suites et les propriétés de la fonction exponentielle.

Points de vigilance et notions clés

• Géométrie repérée : Il faut impérativement maîtriser la formule de la norme d'un vecteur $\sqrt{x^2 + y^2}$ et savoir manipuler les coordonnées de vecteurs résultant d'une soustraction.
• Second degré : La détermination du signe d'un trinôme passe par le calcul du discriminant $\Delta$. Si $\Delta < 0$, le trinôme ne s'annule jamais et garde le signe de son coefficient $a$.
• Trigonométrie : La lecture du cercle trigonométrique est indispensable pour identifier les deux solutions possibles d'une équation type $\sin(x) = a$ sur l'intervalle $]-\pi ; \pi]$.
• Python & Suites : Il faut comprendre la condition d'arrêt d'une boucle while. La boucle continue tant que la condition est vraie et s'arrête dès qu'elle devient fausse.
• Exponentielle : La propriété $e^a \times e^b = e^{a+b}$ est le cœur de la simplification demandée.

Correction détaillée de l'exercice

Question 1 : Calculons d'abord les coordonnées du vecteur $\vec{w} = \vec{u} - \vec{v}$. On a $x_w = -1 - (-3) = 2$ et $y_w = 0 - 4 = -4$. La norme est donc $||\vec{w}|| = \sqrt{2^2 + (-4)^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20}$. Comme $20 = 4 \times 5$, $\sqrt{20} = 2\sqrt{5}$. Réponse d.

Question 2 : Pour $f(x) = x^2 + 2x + 5$, on calcule $\Delta = 2^2 - 4(1)(5) = 4 - 20 = -16$. Le discriminant étant strictement négatif, le trinôme est du signe de $a=1$ (positif) sur tout $\mathbb{R}$. Réponse c.

Question 3 : Sur le cercle trigonométrique, l'ordonnée $1/2$ correspond aux angles $\pi/6$ et $5\pi/6$. Ces deux valeurs appartiennent bien à $]-\pi ; \pi]$. Réponse d.

Question 4 : La boucle while u > 6 s'exécute tant que $u$ est supérieur à 6. Elle s'interrompt dès que $u \le 6$. Comme la fonction renvoie $n$ (le compteur d'itérations), elle donne le plus petit rang $n$ tel que $u_n \le 6$. Réponse b.

Question 5 : En appliquant les propriétés des puissances : $e^{3x-5} \times e^{4-3x} = e^{(3x-5) + (4-3x)} = e^{3x - 3x - 5 + 4} = e^{-1}$. On sait que $e^{-1} = \frac{1}{e}$. Réponse a.