Analyse de l'épreuve d'automatismes

Cette épreuve de Première Spécialité Mathématiques se concentre sur les compétences fondamentales de calcul et de lecture graphique. L'objectif est d'évaluer la rapidité et l'exactitude de l'élève sur des notions transversales du programme de lycée. Les questions balayent un spectre large : de l'algèbre pure (identités remarquables) à l'analyse de fonctions, en passant par les outils de gestion de données (pourcentages, ordres de grandeur).

Points de vigilance et notions requises

• Identités remarquables : Ne pas oublier le double produit lors du développement de $(a-b)^2$.
• Géométrie analytique : Savoir identifier l'ordonnée à l'origine ($b$) et calculer le coefficient directeur ($a$) d'une droite $y=ax+b$ à partir d'un graphique.
• Proportionnalité et temps : Toujours convertir les unités (minutes en secondes) avant d'effectuer un quotient pour obtenir un flux ou une vitesse.
• Puissances de 10 : Maîtriser les règles de calcul $(10^n)^m = 10^{n \times m}$ et $10^n / 10^m = 10^{n-m}$.

Correction détaillée de l'exercice

Question 1 : On applique $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ avec $a=3x$ et $b=2$. On obtient $(3x)^2 - 2(3x)(2) + 2^2 = 9x^2 - 12x + 4$. La réponse exacte est la c).

Question 2 : La droite coupe l'axe des ordonnées en $y=2$ (donc $b=2$). Elle passe par le point (2,0). Le coefficient directeur est $a = (0-2)/(2-0) = -1$. L'équation est $y = -x + 2$. La réponse exacte est la c).

Question 3 : Si 75% étudient le grec, alors 25% étudient le latin. On cherche $x$ tel que $0,25x = 9$. $x = 9 / 0,25 = 9 \times 4 = 36$. La réponse exacte est la d).

Question 4 : Une augmentation de $p \%$ correspond à un coefficient multiplicateur de $1 + p/100$. Pour 15%, on a $1 + 0,15 = 1,15$. La réponse exacte est la b).

Question 5 : Par approximation, $150\,000 / 3\,200 \approx 150\,000 / 3\,000 = 150 / 3 = 50$. La réponse exacte est la b).

Question 6 : 1 min 40 s = 60 + 40 = 100 secondes. Le nombre d'images par seconde est $2\,400 / 100 = 24$. La réponse exacte est la b).

Question 7 : La fonction est sous forme canonique $a(x-\alpha)^2 + \beta$. Le sommet de la parabole est le point $S(\alpha; \beta) = (3; 10)$. Ce point appartient donc forcément à la courbe. La réponse exacte est la c).

Question 8 : $A = (10^{201} \times 10^{-4}) / 10^{2 \times 100} = 10^{197} / 10^{200} = 10^{197-200} = 10^{-3} = 0,001$. La réponse exacte est la c).