Introduction au Sujet 54 de Première Spécialité Mathématiques

Le sujet 54 de la session 2020 des Épreuves Communes de Contrôle Continu (E3C) représente un excellent panorama du programme de Première Spécialité Mathématiques. Ce sujet se distingue par son équilibre entre l'analyse fonctionnelle, les probabilités, les suites numériques et la géométrie repérée. D'une difficulté globale équilibrée, il demande toutefois une rigueur certaine dans l'application des formules de dérivation et dans la lecture des énoncés de probabilités. Pour un élève de première, ce sujet constitue un entraînement complet pour maîtriser les bases de la spécialité.

Exercice 1 : QCM Multi-notions (5 points)

Cet exercice de type QCM balaie cinq thématiques distinctes, ce qui en fait un test de réactivité idéal.

• Trigonométrie : La première question teste la connaissance du cercle trigonométrique et des propriétés de symétrie de la fonction sinus ($\sin(x+\pi) = -\sin(x)$). Il est crucial de visualiser le cercle pour ne pas se tromper de signe.
• Polynômes du Second degré : La question 2 demande d'identifier graphiquement une fonction sans racine réelle. Rappelons qu'une parabole n'admet aucune racine si elle ne coupe jamais l'axe des abscisses, ce qui correspond à un discriminant $\Delta < 0$.
• Dérivation : On évalue ici le coefficient directeur d'une tangente. La méthodologie consiste à dériver $f(x) = 2x - 1/x$, soit $f'(x) = 2 + 1/x^2$, puis à calculer $f'(1)$. Le piège classique est d'oublier que la dérivée de $-1/x$ est $+1/x^2$.
• Géométrie repérée : La reconnaissance d'une équation de cercle ($x^2-2x+y^2+6y+2=0$) nécessite de passer par la forme canonique : $(x-1)^2 - 1 + (y+3)^2 - 9 + 2 = 0$, soit $(x-1)^2 + (y+3)^2 = 8$. On identifie alors le centre $(1 ; -3)$ et le rayon $R = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.
• Variables aléatoires : Le calcul de l'espérance $E(X)$ est une simple application de la formule $\sum x_i P(X=x_i)$. Attention aux erreurs de calcul avec les fractions.

Exercice 2 : Suites numériques et Python (5 points)

L'exercice porte sur une modélisation de la baisse d'activité d'une maternité. On identifie immédiatement une suite géométrique de raison $q = 0,96$ (car une baisse de 4% correspond à un coefficient multiplicateur de $1 - 0,04$).

La partie Algorithmie avec le langage Python est très classique. La fonction réalise le calcul itératif du $n$-ième terme. Un point de vigilance : la boucle range(1, n+1) s'exécute $n$ fois, ce qui correspond bien au calcul de $u_n$. L'expression fonctionnelle $u_n = 900 \times 0,96^n$ est ensuite indispensable pour résoudre les questions de seuil. Pour l'année 2030 ($n=11$), le calcul permet de vérifier si $u_{11} < 600$. Ce type de problème se résout soit par tâtonnement à la calculatrice, soit en utilisant les logarithmes si la notion a été abordée (bien qu'en Première, le tâtonnement ou le tableau de valeurs soit attendu).

Exercice 3 : Analyse de la fonction Exponentielle (5 points)

Cet exercice se concentre sur l'étude de la fonction $f(x) = 4xe^{-x}$ sur l'intervalle $[0 ; 3]$. C'est une application directe du cours sur la dérivation des produits ($uv$).

La démonstration de la dérivée $f'(x) = 4(1-x)e^{-x}$ est l'étape clé. Comme l'exponentielle est toujours strictement positive, le signe de $f'(x)$ ne dépend que de celui de $(1-x)$. On en déduit une croissance sur $[0 ; 1]$ et une décroissance sur $[1 ; 3]$. Le maximum est donc atteint en $x=1$ et vaut $f(1) = 4e^{-1}$. La dernière question sur la comparaison des coefficients directeurs entre la corde (AO) et la tangente $\mathcal{T}$ au point $0,5$ demande de comparer $f(1)/1 = 4e^{-1}$ et $f'(0,5) = 4(0,5)e^{-0,5} = 2e^{-0,5}$. C'est une excellente question de réflexion graphique et numérique.

Exercice 4 : Probabilités conditionnelles (5 points)

L'exercice traite de la répartition des élèves dans des activités périscolaires. La construction de l'arbre pondéré est facilitée par des données claires. Le calcul de $P(F)$ utilise la formule des probabilités totales : $P(F) = P(M \cap F) + P(S \cap F) + P(C \cap F)$.

La question sur l'indépendance des événements $M$ et $F$ est un point de cours fondamental : il faut vérifier si $P(M \cap F) = P(M) \times P(F)$. Enfin, le calcul de la probabilité sachant que l'élève est un garçon ($P_{\overline{F}}(C)$) nécessite de bien identifier l'univers restreint ou d'utiliser la formule $P(C \cap \overline{F}) / P(\overline{F})$.

Conclusion et Conseils de révision

Ce sujet 54 est très complet. Pour réussir, l'élève doit particulièrement maîtriser la mise en forme canonique d'un cercle, la dérivation des produits impliquant l'exponentielle et la manipulation des suites géométriques. L'intégration de Python montre l'importance de savoir lire et interpréter un script simple pour modéliser des évolutions réelles.