Analyse de l'énoncé
Cet exercice se présente sous la forme d'un QCM (Questionnaire à Choix Multiples) composé de 5 questions indépendantes. Il couvre une large partie du programme de Première Spécialité Mathématiques : les probabilités conditionnelles, la géométrie analytique (équations de droites), la trigonométrie et le calcul différentiel (dérivation).
Points de vigilance et notions requises
- Probabilités : Savoir compléter un arbre pondéré (la somme des probabilités issues d'un même nœud vaut 1) et appliquer la formule des probabilités totales.
- Géométrie repérée : Identifier un vecteur normal \(\vec{n}(a; b)\) à partir d'une équation cartésienne \(ax + by + c = 0\). Un vecteur normal à une droite \(D\) est un vecteur directeur de n'importe quelle droite perpendiculaire à \(D\).
- Trigonométrie : Connaître les valeurs remarquables du sinus et savoir que les fonctions trigonométriques sont périodiques (période \(2\pi\)).
- Dérivation : Maîtriser les formules de dérivation du quotient \((u/v)' = (u'v - uv')/v^2\) et l'équation de la tangente \(y = f'(a)(x-a) + f(a)\).
Correction détaillée
Question 1 : On complète l'arbre. Puisque \(P(A) = 0,6\), alors \(P(B) = 1 - 0,6 = 0,4\). Dans la branche \(A\), on a \(P_A(\overline{E}) = 0,5\) donc \(P_A(E) = 0,5\). Par la formule des probabilités totales : \(P(E) = P(A \cap E) + P(B \cap E) = 0,6 \times 0,5 + 0,4 \times 0,3 = 0,3 + 0,12 = 0,42\). Réponse b.
Question 2 : L'équation de \(D\) est \(3x + y - 2 = 0\). Un vecteur normal à \(D\) est \(\vec{n}(3; 1)\). Par définition, un vecteur normal à \(D\) est un vecteur directeur de toute droite perpendiculaire à \(D\). Réponse d.
Question 3 : Sur le cercle trigonométrique, \(\sin(x) = 1\) correspond au point le plus haut, soit \(x = \pi/2\). Les solutions réelles sont de la forme \(x = \pi/2 + 2k\pi\) (\(k \in \mathbb{Z}\)). Il y a donc une infinité de solutions. Réponse b.
Question 4 : On calcule \(f'(x)\) pour \(f(x) = \frac{2x}{x^2+1}\). \(f'(x) = \frac{2(x^2+1) - 2x(2x)}{(x^2+1)^2} = \frac{2-2x^2}{(x^2+1)^2}\). Pour \(x=0\), \(f'(0) = 2/1^2 = 2\) et \(f(0) = 0\). L'équation de la tangente est \(y = 2(x-0) + 0\), soit \(y = 2x\). Réponse b.
Question 5 : Soit \(f(x) = \frac{x-3}{x+2}\). On utilise \((u/v)'\) avec \(u=x-3\) (\(u'=1\)) et \(v=x+2\) (\(v'=1\)). \(f'(x) = \frac{1(x+2) - 1(x-3)}{(x+2)^2} = \frac{x+2-x+3}{(x+2)^2} = \frac{5}{(x+2)^2}\). Réponse c.