Le sujet 2 de Métropole juin 2021 : présentation de l'épreuve

Ce sujet de spécialité physique-chimie de la session 2021 se compose de quatre exercices. L'exercice 1, consacré à la synthèse du plexiglas, est noté sur 10 points et occupe environ 1 h 45. Les trois exercices suivants, notés A, B et C, valent chacun 5 points et demandent environ 55 minutes : le saut à l'élastique, la mesure de l'épaisseur d'un film plastique et l'étude d'un film de savon. Lors de la session 2021, le candidat traitait l'exercice 1 et choisissait deux des trois exercices de 5 points, pour un total de 20 points en 3 h 30.

Le sujet couvre un large éventail du programme : chimie des acides et des bases, synthèse organique, cinétique, mécanique newtonienne, énergie, optique géométrique, circuit RC et interférences. Travailler les quatre exercices est donc une excellente révision, même si l'épreuve n'en demandait que trois.

Exercice 1 : vers la synthèse du plexiglas (10 points)

Partie 1 : l'acide méthacrylique

Le début de l'exercice vérifie des acquis : précautions de sécurité justifiées par les pictogrammes (blouse, gants, lunettes, hotte), formule topologique avec le seul groupe carboxyle entouré, couple acide-base de Brönsted et équation de la réaction avec l'eau, avec une double flèche puisque l'acide est faible. La relation de K_A ne doit pas faire apparaître l'eau, qui est le solvant.

La question 1.6 demande de vérifier qu'une solution à 100 g/L a un pH de 2,3. Il faut d'abord convertir en concentration molaire, 1,16 mol/L, puis résoudre l'équation issue de K_A, ou utiliser l'approximation d'un acide peu dissocié. On trouve un pH de 2,32. Traiter l'acide comme un acide fort mène à une valeur absurde.

Partie 2 : la synthèse du MMA

Cette partie évalue la pratique expérimentale. Le montage à reflux doit être schématisé avec un réfrigérant vertical ouvert, l'eau entrant par le bas. La position des phases dans l'ampoule à décanter se justifie par les densités : la phase organique, éther et MMA, moins dense que l'eau, est au-dessus. La distillation fractionnée se pilote à la température en tête de colonne, 35 °C pour l'éther puis 101 °C pour le MMA.

Les calculs donnent 0,116 mol d'acide méthacrylique et 0,86 mol de méthanol : l'acide est limitant et la masse maximale de MMA est de 11,6 g. Pour optimiser, le chauffage et le catalyseur jouent sur la vitesse, l'excès de méthanol sur le rendement. Le catalyseur ne modifie pas l'état d'équilibre.

Partie 3 : la polymérisation

Le motif du PMMA provient de l'ouverture de la double liaison C=C. Le suivi par spectroscopie infrarouge repose sur la disparition de la bande C=C vers 1640 cm^-1, et non sur la bande C=O, présente avant et après. Les questions de cinétique demandent un temps de demi-réaction d'environ 1,1 h, une vitesse initiale d'environ 3 × 10² mmol·L^-1·h^-1 obtenue par la tangente à l'origine, et la conclusion d'une loi d'ordre 1, la vitesse étant proportionnelle à la concentration en MMA.

Les pièges de l'exercice 1

Plusieurs erreurs reviennent dans cet exercice. Utiliser 100 g/L comme une concentration en mol/L fausse tout le calcul du pH. Compter l'acide sulfurique parmi les réactifs alors qu'il s'agit du catalyseur, ou calculer la quantité de méthanol sans passer par sa densité, rend le tableau d'avancement inexact. En cinétique, la pente entre les deux premiers points donne une vitesse moyenne sur la première heure, inférieure à la vitesse initiale. Enfin, pour conclure à l'ordre 1, il ne suffit pas d'observer une droite : elle doit passer par l'origine, ce qui traduit la proportionnalité.

Exercice A : saut à l'élastique (5 points)

La première phase du saut est modélisée par une chute libre avec une vitesse initiale dirigée vers le bas. La deuxième loi de Newton donne a_z = -g, l'axe étant orienté vers le haut. Deux intégrations successives, avec les conditions initiales v_z(0) = -v₀ et z(0) = H, conduisent à l'équation horaire demandée.

La modélisation z(t) = -4,90 t² - 1,10 t + 49,8 se valide par identification : g = 9,80 m·s^-2 et H = 49,8 m. L'élastique de 8,0 m commence à se tendre quand z = H - L₀, ce qui donne une date d'environ 1,17 s et une vitesse d'environ 13 m/s. La valeur de la vitesse est une norme, donc positive.

La partie énergétique demande d'identifier les courbes : l'énergie cinétique part de 48 J seulement, l'énergie potentielle de pesanteur d'environ 3,9 × 10⁴ J, et l'énergie mécanique reste presque constante pendant la chute libre. Pour la suite du saut, il manque la raideur de l'élastique. Le minimum d'énergie potentielle, environ 22 500 J, conduit à une distance parcourue d'environ 21 m et à un étirement d'environ 13 m, inférieur à la limite de 32 m : le saut est sûr.

L'exercice demande surtout de la vigilance sur les signes et les repères. L'origine de l'axe est au sol : poser z = L₀ ou z = 0 pour l'instant où l'élastique se tend est une erreur fréquente. De même, l'étirement de l'élastique n'est pas la distance parcourue : il faut retrancher la longueur à vide avant de comparer à 4 L₀. Garder la valeur non arrondie de la date dans le calcul de la vitesse évite des écarts inutiles.

Exercice B : mesures d'épaisseur (5 points)

La première méthode utilise un microscope. Il faut construire l'image intermédiaire A₁B₁ par l'objectif, puis l'image définitive A₂B₂ par l'oculaire, en prolongeant vers l'arrière les rayons qui divergent. L'image définitive est virtuelle, agrandie et renversée par rapport à l'objet. Pour une observation sans accommodation, A₁ doit être confondu avec F₂. La lecture de la vis micrométrique donne un déplacement de 44 µm, et l'épaisseur vaut n × d, soit 66 µm.

La seconde méthode utilise un condensateur réalisé avec le film. L'équation différentielle RC du_C/dt + u_C = E s'établit avec la loi des mailles ; sa solution donne τ = RC, B = E et A = -E. Sur la courbe, E = 6,0 V et τ se lit à 0,63 E, soit environ 6 × 10^-5 s. La capacité vaut 6 nF. La relation finale, à condition de convertir la surface en m² et de ne pas oublier le facteur 2 des deux films, donne 65 µm, en accord avec la mesure optique.

Les deux résultats se situent dans l'intervalle de 50 µm à 120 µm annoncé par les fabricants. Le commentaire attendu doit le dire, mais aussi rester prudent : avec un temps caractéristique lu à un seul chiffre significatif, l'épaisseur capacitive n'est connue qu'à environ 10 % près, et l'accord au micromètre près est en partie fortuit. Ce qui compte est la compatibilité des deux mesures. Côté pièges, retenez le sens de la relation d = e/n, qui impose de multiplier par l'indice, et la lecture de τ à 63 % de E plutôt qu'au palier.

Exercice C : étude d'un film de savon (5 points)

Les bandes claires du film correspondent aux interférences constructives, les bandes sombres aux interférences destructives. Au point M, la différence de chemin optique vaut environ 2,11 × 10³ nm ; divisée par la longueur d'onde de 600 nm, elle donne environ 3,5, d'où des interférences destructives.

La démonstration de la formule e_k = (2k + 1)λ/(4n) part de la condition δ = kλ. L'épaisseur minimale pour une interférence constructive en bleu, avec k = 0, vaut 85,4 nm. L'extension de la zone sans couleur s'explique par l'écoulement du liquide vers le bas sous l'effet de la pesanteur, qui amincit le haut du film. Enfin, le comptage des franges au point A, k = 8 en bleu et k = 6 en rouge-orangé, conduit à deux valeurs concordantes, environ 1,45 × 10³ nm, soit 1,5 µm.

Cet exercice demande peu de calculs, mais chacun doit être conclu. À la question 1.3, la valeur de δ seule ne suffit pas : c'est le rapport δ/λ, entier ou demi-entier, qui tranche. Pour l'épaisseur minimale, les parenthèses autour de 4n sont indispensables à la calculatrice. Pour le point A, une erreur d'une frange dans le comptage donne deux épaisseurs incompatibles : la concordance des calculs en bleu et en rouge-orangé sert de vérification. On peut d'ailleurs la retrouver sans la figure, en cherchant deux nombres impairs dont le rapport est proche de 600/458, soit 17/13.

Gestion du temps

L'exercice 1 mérite environ la moitié de l'épreuve, soit 1 h 45, et chacun des deux exercices choisis environ 55 minutes. Il est conseillé de lire rapidement les exercices A, B et C avant de choisir : un candidat à l'aise en mécanique retiendra le saut à l'élastique, un candidat qui maîtrise l'optique et les circuits choisira les mesures d'épaisseur, et l'étude du film de savon convient à qui manie bien les interférences. Dans l'exercice 1, les parties sont largement indépendantes : en cas de blocage sur le calcul du pH, il vaut mieux passer à la synthèse et revenir plus tard. Gardez quelques minutes en fin d'épreuve pour vérifier les unités et les chiffres significatifs.

Pour s'entraîner efficacement avec ce sujet, le mieux est de le traiter d'abord sans aide, chronomètre en main, puis de confronter sa copie au corrigé question par question. Repérez les questions perdues par manque de méthode, comme la tangente à l'origine ou la construction des rayons, et celles perdues par inattention, comme un signe ou une conversion. Les premières demandent de revoir le cours, les secondes de prendre l'habitude de se relire.

Conclusion

Ce sujet récompense la rigueur : orientation des axes et signes en mécanique, lecture soignée des graphiques en cinétique et en électricité, constructions propres en optique, justifications appuyées sur les données en chimie. Plusieurs exercices proposent de comparer deux résultats, ce qui permet de contrôler soi-même son travail. Le corrigé détaillé reprend chaque question avec la méthode, les calculs et les pièges à éviter.