Un exercice entre spectre et lois de Kepler

L'exercice 4 du sujet 1 de Métropole, septembre 2021, vaut 5 points, soit environ 53 minutes. Il porte sur la sonde Parker Solar Probe, la PSP, envoyée au plus près du Soleil pour étudier sa couronne. La première partie relève de la lumière et de l'énergie des photons, les deux suivantes du mouvement dans le champ de gravitation et des lois de Kepler. Beaucoup de questions reposent sur des lectures graphiques : la précision et les unités font la différence.

Partie 1 : la raie de l'ion Fe¹³⁺

Questions 1.1 et 1.2 : longueur d'onde et domaine

Sur la figure, la raie se lit à 492 nm, soit 4,92 × 10⁻⁷ m. Il faut d'abord déterminer la valeur d'une graduation à partir des repères 480 nm et 500 nm. Entre 400 nm et 800 nm, la radiation appartient au domaine visible ; vers 490 nm, elle est bleu-vert.

Question 1.3 : énergie de la transition

La relation E = h c / λ, avec λ en mètres, donne 4,04 × 10⁻¹⁹ J. Pour passer en électronvolts, on divise par 1,6 × 10⁻¹⁹ : on obtient 2,5 eV. Les deux pièges classiques sont de laisser λ en nanomètres et de multiplier au lieu de diviser.

Partie 2 : l'orbite de la sonde

Question 2.1 : lectures graphiques

Entre deux rencontres avec Vénus, la période de la sonde est d'environ 1,5 × 10² jours. L'axe vertical est gradué en rayons solaires : il faut multiplier les lectures par R_S = 6,96 × 10⁵ km pour obtenir une distance maximale d'environ 1,4 × 10⁸ km et une distance minimale d'environ 2,4 × 10⁷ km. Le verbe « estimer » autorise une lecture approchée.

Question 2.2 : démontrer la troisième loi de Kepler

En partant de v = 2πR/T et de l'expression de la vitesse sur une orbite circulaire, on établit T²/R³ = 4π²/(G M_S), puis on calcule 2,97 × 10⁻¹⁹ s²·m⁻³. Le calcul numérique seul ne suffit pas : « montrer que » exige l'expression littérale. Ce rapport ne dépend que de la masse du Soleil.

Question 2.3 : vérification avec le demi-grand axe

Avec T = 87 jours et le demi-grand axe calculé à partir des distances extrêmes, on trouve 2,8 × 10⁻¹⁹ s²·m⁻³, à 5 % de la valeur attendue. Les données n'ayant que deux chiffres significatifs, l'accord est satisfaisant. Le point crucial : convertir la période en secondes et le demi-grand axe en mètres, car ce dernier est élevé au cube.

Partie 3 : la trajectoire elliptique

Questions 3.1 et 3.2 : première loi et aphélie

D'après la première loi de Kepler, dans le référentiel héliocentrique, la trajectoire de la sonde est une ellipse dont le centre du Soleil occupe l'un des foyers, et non le centre. L'aphélie est le point le plus éloigné du Soleil : parmi les points du tableau, c'est la position 7, le 13 février 2025. Les positions 6 et 7 sont très proches, il faut comparer les distances chiffre par chiffre et ne pas confondre avec le périhélie, en position 3.

Conseils pour réussir

Avant toute lecture graphique, identifiez l'unité de chaque axe. Dans les calculs de Kepler, passez systématiquement en secondes et en mètres. Enfin, distinguez bien les trois lois : la deuxième, celle des aires, explique les variations de vitesse, pas la forme de la trajectoire.