Lumière et analyse : du prisme au dosage de la vanilline

Le premier exercice du bac S 2012 en Asie est le plus lourd de l'épreuve, avec 6,5 points sur 20. Il traverse trois chapitres de l'ancien programme : la propagation de la lumière dans un milieu transparent, la quantification de l'énergie dans l'atome de césium, puis un dosage par spectrophotométrie. Les trois parties sont indépendantes, ce qui permet de ne pas rester bloqué, mais à l'intérieur de chacune les résultats s'enchaînent.

Partie 1 : indice de réfraction et dispersion

On attend d'abord la définition n = c/v, sans unité et supérieure ou égale à 1. La deuxième question est un classique : quand une radiation change de milieu, sa fréquence ne change pas, car elle est imposée par la source ; ce sont la célérité et la longueur d'onde qui varient. Le piège est de croire que la radiation change de couleur. On en déduit la définition d'un milieu dispersif : un milieu où la célérité d'une onde dépend de sa fréquence. C'est pour cela que le prisme sépare les radiations d'une lumière polychromatique.

Partie 2 : le spectre du césium

Les raies α (459 nm) et β (455 nm) sont comprises entre 400 et 800 nm : elles appartiennent au domaine visible, dans le bleu. La lumière analysée est polychromatique puisque son spectre compte plusieurs raies. Le calcul de la fréquence de la raie α, avec λ = c/ν, donne 6,54 × 10¹⁴ Hz à condition de convertir les nanomètres en mètres. L'énergie du photon, E = hc/λ, vaut 4,33 × 10^-19 J, soit 2,70 eV : il faut diviser par 1,60 × 10^-19 pour passer en électronvolts, et non multiplier.

Sur le diagramme, l'état fondamental est E₀ = -5,00 eV ; les niveaux E₁ à E₄ sont des états excités. L'écart E₃ - E₀ vaut exactement 2,70 eV : la raie α correspond à la transition de E₃ vers E₀, et la flèche doit descendre puisqu'il s'agit d'une émission. Le photon de 2,39 eV, lui, fait passer l'atome de E₀ à E₂ : il est absorbé, et la raie associée est une raie d'absorption, noire sur le fond coloré du spectre.

Partie 3 : dosage de la vanilline par étalonnage

Un millilitre de vanille liquide est dilué dans une fiole de 250 mL : le facteur de dilution vaut 250, valeur qui resservira à la toute dernière question. La vanilline réagit avec les ions hydroxyde selon HVan + HO^- → Van^- + H₂O. Pour l'étalonnage, on se place au maximum d'absorption, vers 347 nm, dans l'ultraviolet, là où la mesure est la plus sensible.

La courbe A = f(c) est une droite qui passe par l'origine, ce qui traduit la loi de Beer-Lambert ; dire seulement « c'est une droite » ne suffit pas. Le coefficient directeur vaut k = 2,7 × 10⁴ L·mol^-1. Pour A = 0,88, on trouve c₁ = 3,3 × 10^-5 mol·L^-1, puis une concentration massique de 5,0 × 10^-3 g·L^-1 avec M = 152 g·mol^-1. Enfin, l'échantillon commercial étant 250 fois plus concentré, c_m = 1,2 g·L^-1.

Pièges et conseils

Soignez les conversions (nanomètres, électronvolts) et gardez les valeurs non arrondies dans la calculatrice jusqu'au résultat final. Sur le graphique, légendez les axes avec leurs unités et tracez une droite moyenne plutôt qu'une ligne brisée. À la dernière question, demandez-vous si le résultat doit être plus grand ou plus petit que la valeur diluée : cela évite de diviser par 250 au lieu de multiplier.