Le son dans une voiture : un exercice sur le niveau sonore

L'exercice 4 du sujet de Polynésie 2022 (jour 2) est un exercice de 5 points, à traiter en 53 minutes environ. Il s'intéresse à deux conducteurs qui écoutent le même autoradio, à des distances différentes, et pose une question de santé : le conducteur le plus proche est-il exposé à un niveau sonore nocif ? L'exercice mobilise l'intensité sonore, le niveau d'intensité sonore en décibels, les deux types d'atténuation et la comparaison d'une mesure à un modèle par le z-score.

Questions 1 à 3 : l'atténuation géométrique

Intensité reçue à chaque distance

Pour une source ponctuelle de puissance P, l'intensité reçue à la distance d vaut I = P/(4πd²) : la puissance se répartit sur une sphère dont l'aire augmente avec la distance. On écrit donc I₁ et I₂ en remplaçant d par d₁ puis par d₂.

Démontrer puis calculer

L'atténuation est la différence des niveaux, A = L₁ − L₂. En remplaçant chaque niveau par 10 log(I/I₀) et en utilisant la propriété log a − log b = log(a/b), I₀ se simplifie et l'on obtient 10 log(I₁/I₂). Le rapport des intensités vaut d₂²/d₁² ; avec d₁ = 1,0 m et d₂ = 3,1 m, on trouve 9,8 dB. Oublier les carrés donnerait 4,9 dB, et inverser le quotient donnerait une valeur négative, impossible pour une atténuation.

Questions 4 à 6 : la mesure est-elle compatible avec le modèle ?

Les niveaux mesurés, 80 dB et 68 dB, donnent une atténuation de 12 dB. Son incertitude-type se calcule avec la formule fournie : la racine de 3² + 3² donne 4,2 dB. Le piège est de soustraire les incertitudes parce que l'on soustrait les niveaux : les incertitudes se composent toujours. Le z-score compare ensuite la mesure à la valeur du modèle, arrondie à 10 dB : z = |12 − 10|/4,2 ≈ 0,48, inférieur à 2. Les deux valeurs sont compatibles, et le modèle de l'atténuation géométrique décrit bien la situation fenêtres baissées.

Questions 7 et 8 : fenêtres fermées et seuil de nocivité

Quand on ferme les fenêtres, les distances ne changent pas : l'atténuation supplémentaire vient du verre traversé, c'est une atténuation par absorption. Pour la dernière question, on remonte du conducteur 2 vers le conducteur 1 en ajoutant les atténuations : 63 + 10 + 18 = 91 dB. Cette valeur dépasse la limite de nocivité de 85 dB : le conducteur 1 est exposé à un niveau sonore nocif. Oublier l'atténuation géométrique conduirait à 81 dB et à la conclusion inverse.

Conseils pour ce type d'exercice

Retenez qu'une différence de niveaux en décibels correspond à un quotient d'intensités, jamais à une différence. Les atténuations exprimées en décibels s'additionnent, ce qui simplifie beaucoup les calculs. Pour un z-score, identifiez clairement la valeur de référence, divisez l'écart en valeur absolue par l'incertitude-type et terminez par une phrase de conclusion. Enfin, dans une question de type « montrer que », citez la propriété mathématique utilisée : c'est elle qui rend la démonstration complète.