Analyse de l'énoncé
Cet exercice de Première Spécialité porte sur l'étude complète d'une fonction polynôme du troisième degré. Il mobilise des compétences fondamentales du programme : la factorisation par identification ou développement, l'étude de signes via le discriminant (second degré), le calcul de dérivée et l'exploitation de la tangente à une courbe. L'objectif est de lier l'expression algébrique d'une fonction à sa représentation graphique et à ses propriétés de variation.
Points de vigilance et notions de cours
- Factorisation : Pour la question 1.a, la méthode la plus simple consiste à développer l'expression factorisée pour retrouver la forme initiale.
- Intersection avec les axes : L'intersection avec l'axe des abscisses correspond aux solutions de l'équation $f(x) = 0$.
- Second degré : Savoir calculer le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$ pour déterminer le nombre de racines d'un trinôme.
- Dérivation : Appliquer la formule $(x^n)' = nx^{n-1}$. La dérivée d'une somme est la somme des dérivées.
- Tangente : Se souvenir de l'équation réduite $y = f'(a)(x - a) + f(a)$.
Guide de résolution détaillé
1. Étude algébrique et racines
Dans la question 1.a, en développant $(x - 1)(8x^2 + 2x + 2)$, on obtient : $8x^3 + 2x^2 + 2x - 8x^2 - 2x - 2$, ce qui se simplifie en $8x^3 - 6x^2 - 2$. L'égalité est vérifiée. Pour la question 1.b, on résout $f(x)=0$. Un produit de facteurs est nul si l'un des facteurs est nul. $x-1=0 \implies x=1$. Pour le trinôme $8x^2 + 2x + 2$, le discriminant $\Delta = 2^2 - 4(8)(2) = 4 - 64 = -60$. Comme $\Delta < 0$, ce trinôme n'a pas de racine réelle. La seule intersection est donc le point A(1 ; 0).
2. Variations de la fonction
La dérivée de $f(x) = 8x^3 - 6x^2 - 2$ est $f'(x) = 8 \times 3x^2 - 6 \times 2x = 24x^2 - 12x$. En factorisant par $12x$, on obtient bien $f'(x) = 12x(2x - 1)$. Les racines de la dérivée sont $x = 0$ et $x = 1/2$. Puisque le coefficient de $x^2$ (24) est positif, la dérivée est positive à l'extérieur des racines. La fonction $f$ est donc croissante sur $]-\infty ; 0]$, décroissante sur $[0 ; 1/2]$ et croissante sur $[1/2 ; +\infty[$.
3. Tangente et point B
On cherche l'équation de la tangente au point d'abscisse $a = 1/2$. On a $f(1/2) = 8(1/8) - 6(1/4) - 2 = 1 - 1,5 - 2 = -2,5$. On sait que $f'(1/2) = 0$ car $1/2$ est une racine de la dérivée. L'équation de la tangente est $y = 0(x - 1/2) + (-2,5)$, soit $y = -2,5$. Le point B(0 ; -2,5) a une ordonnée de -2,5, il appartient donc bien à la droite d'équation $y = -2,5$. La réponse est affirmative.