Analyse de l'énoncé
Cet exercice porte sur l'étude d'une fonction polynôme de degré 3 : $f(x) = 2x^3 + 2x^2 - 2x + 3$ sur l'intervalle $[-2 ; 2]$. Il combine plusieurs compétences clés du programme de Première Spécialité : la résolution algébrique d'équations (intersections de courbes), l'interprétation graphique de paramètres, et l'utilisation de la dérivation pour déterminer les variations d'une fonction.
Points de vigilance et notions requises
- Équations de degré supérieur : Pour trouver les points d'intersection, il faut savoir factoriser une expression polynomiale. Ici, la factorisation par $x$ simplifie l'expression en un produit dont l'un des facteurs est un trinôme du second degré.
- Dérivation : La règle de dérivation d'un polynôme $ax^n$ est fondamentale ($nx^{n-1}$).
- Signe et variations : Rappelez-vous que le signe de la dérivée $f'(x)$ détermine le sens de variation de la fonction $f$. Si $f'(x) > 0$, la fonction est croissante.
Guide de résolution et correction
1. Intersections entre $\mathcal{C}$ et la droite $d$
Pour trouver les abscisses des points d'intersection, on résout $f(x) = 2x + 3$.
$2x^3 + 2x^2 - 2x + 3 = 2x + 3 \iff 2x^3 + 2x^2 - 4x = 0$.
En factorisant par $2x$, on obtient : $2x(x^2 + x - 2) = 0$. C'est l'équation demandée.
Pour les coordonnées, on résout $x^2 + x - 2 = 0$. Le discriminant $\Delta = 1^2 - 4(1)(-2) = 9$. Les racines sont $x_1 = \frac{-1-3}{2} = -2$ et $x_2 = \frac{-1+3}{2} = 1$. L'autre solution est $x=0$.
Les points d'intersection sont $A(-2 ; -1)$, $B(0 ; 3)$ et $C(1 ; 5)$ (en remplaçant $x$ dans l'équation de $d$).
2. Interprétation graphique
La droite $d'$ a le même coefficient directeur que $d$ ($m=2$), elle lui est donc parallèle. Graphiquement, pour qu'il n'y ait qu'un seul point d'intersection, la droite doit être suffisamment haute ou basse. Par exemple, pour $a=15$, la droite ne coupe la courbe qu'une seule fois dans la partie supérieure.
3. Étude de la dérivée
On dérive $f(x)$ : $f'(x) = 2(3x^2) + 2(2x) - 2 = 6x^2 + 4x - 2$.
Développons $6(x+1)(x-\frac{1}{3})$ : $6(x^2 - \frac{1}{3}x + x - \frac{1}{3}) = 6(x^2 + \frac{2}{3}x - \frac{1}{3}) = 6x^2 + 4x - 2$. La forme factorisée est vérifiée.
Le signe de $f'(x)$ dépend du trinôme. Les racines sont $-1$ et $\frac{1}{3}$. Le coefficient de $x^2$ étant positif (6), la dérivée est positive à l'extérieur des racines. Ainsi, $f$ est croissante sur $[-2 ; -1]$, décroissante sur $[-1 ; \frac{1}{3}]$ et croissante sur $[\frac{1}{3} ; 2]$.