Analyse de l'exercice et enjeux pédagogiques

Cet exercice sous forme de QCM (Questionnaire à Choix Multiples) balaye une grande partie du programme de mathématiques de la classe de Première Spécialité. Il nécessite une maîtrise agile de plusieurs domaines : l'analyse (exponentielle), l'algèbre (second degré), la géométrie analytique (équations de cercle et de droite) et les suites numériques. L'absence de points négatifs incite à répondre à toutes les questions, mais la précision reste de mise pour assurer le maximum de points.

Points de vigilance et notions clés

• Propriétés de l'exponentielle : Rappelez-vous que $\frac{e^a}{e^b} = e^{a-b}$. L'erreur classique consiste à oublier les parenthèses lors de la soustraction du dénominateur.
• Intersections de courbes : Chercher les points d'intersection revient à résoudre l'équation $f(x) = g(x)$. On se ramène alors à l'étude du signe du discriminant $\Delta$ d'un trinôme du second degré.
• Géométrie du cercle : L'équation cartésienne d'un cercle de centre $A(x_A; y_A)$ et de rayon $R$ est $(x-x_A)^2 + (y-y_A)^2 = R^2$. Attention à ne pas confondre le rayon avec son carré.
• Vecteurs et Droites : Pour une droite d'équation $ax + by + c = 0$, le vecteur $\vec{n}(a; b)$ est normal à la droite.
• Somme des entiers : La formule de la somme des $n$ premiers entiers est $S_n = \frac{n(n+1)}{2}$.

Correction détaillée pas à pas

Question 1 : On applique la règle des puissances : $\frac{e^{2x}}{e^{x+1}} = e^{2x - (x+1)} = e^{2x - x - 1} = e^{x-1}$. La réponse correcte est la a.

Question 2 : Posons $15x^2 + 10x - 1 = 19x^2 - 22x + 10$. En regroupant les termes d'un seul côté, on obtient $-4x^2 + 32x - 11 = 0$. Calculons le discriminant : $\Delta = 32^2 - 4(-4)(-11) = 1024 - 176 = 848$. Puisque $\Delta > 0$, l'équation admet deux solutions distinctes, donc les courbes ont deux points d'intersection. La réponse correcte est la c.

Question 3 : Avec $A(3; -1)$ et $R=5$, l'équation est $(x-3)^2 + (y-(-1))^2 = 5^2$, soit $(x-3)^2 + (y+1)^2 = 25$. La réponse correcte est la d.

Question 4 : L'équation est $3x + 2y + 4 = 0$. Les coefficients devant $x$ et $y$ donnent directement les coordonnées d'un vecteur normal : $\vec{n}(3; 2)$. La réponse correcte est la c.

Question 5 : On cherche $n$ tel que $\frac{n(n+1)}{2} > 5000$, soit $n(n+1) > 10000$. En testant les valeurs proposées : si $n=100$, $100 \times 101 = 10100$. La moitié est $5050 > 5000$. Pour $n=99$, la somme serait $5050 - 100 = 4950 < 5000$. Le plus petit entier est donc $100$. La réponse correcte est la d.