Analyse de l'énoncé

Cet exercice de Première Spécialité porte sur l'étude d'une fonction produit mêlant un polynôme du second degré et la fonction exponentielle. La structure est classique : calcul de la dérivée, étude du signe pour déterminer les variations, et application géométrique avec la tangente.

Points de vigilance et notions requises

• Règle du produit : Pour dériver $f(x) = u(x)v(x)$, on utilise la formule $(uv)' = u'v + uv'$.
• Signe de l'exponentielle : Rappel essentiel : pour tout réel $x$, $e^x > 0$. Le signe de la dérivée dépendra donc uniquement du trinôme.
• Second degré : Savoir calculer un discriminant $\Delta$ et trouver les racines pour déterminer le signe d'un trinôme $ax^2+bx+c$.
• Équation de tangente : La formule $y = f'(a)(x-a) + f(a)$ doit être connue par cœur.

Correction détaillée

1.a. Dérivation :
Posons $u(x) = x^2 - 2,5x + 1$ et $v(x) = e^x$.
Alors $u'(x) = 2x - 2,5$ et $v'(x) = e^x$.
En appliquant $(uv)'$, on a :
$f'(x) = (2x - 2,5)e^x + (x^2 - 2,5x + 1)e^x = (2x - 2,5 + x^2 - 2,5x + 1)e^x$
$f'(x) = (x^2 - 0,5x - 1,5)e^x$. La relation est démontrée.

1.b. Variations :
Comme $e^x > 0$, le signe de $f'(x)$ est celui de $P(x) = x^2 - 0,5x - 1,5$.
$\Delta = (-0,5)^2 - 4(1)(-1,5) = 0,25 + 6 = 6,25$. $\sqrt{6,25} = 2,5$.
Racines : $x_1 = \frac{0,5 - 2,5}{2} = -1$ et $x_2 = \frac{0,5 + 2,5}{2} = 1,5$.
$f$ est donc croissante sur $]-\infty ; -1]$, décroissante sur $[-1 ; 1,5]$ et croissante sur $[1,5 ; +\infty[$.

2.a. Tangente en $x=0$ :
$f(0) = (0 - 0 + 1)e^0 = 1$.
$f'(0) = (0 - 0 - 1,5)e^0 = -1,5$.
L'équation est $y = -1,5(x - 0) + 1$, soit $\mathcal{T} : y = -1,5x + 1$.

2.b. Intersection :
On cherche $a > 0$ tel que $f(a) = -1,5a + 1$. En utilisant la table de valeurs de la calculatrice pour $g(x) = f(x) - (-1,5x + 1)$, on observe un changement de signe entre 1,7 et 1,8 ($g(1,7) \approx -0,41$ et $g(1,8) \approx 0,13$). L'encadrement est donc $1,7 < a < 1,8$.