Analyse de l'énoncé
Cet exercice de mathématiques pour le niveau Première Spécialité propose une application concrète des fonctions à la pharmacologie. Il s'agit d'étudier la concentration d'un produit actif modélisée par une fonction polynomiale de degré 3 : $f(x) = x^3 - 12x^2 + 36x$ sur l'intervalle $[0;6]$. L'exercice combine des compétences d'Algorithmie (lecture de script Python) et d'analyse mathématique pure, notamment l'utilisation de la dérivation pour caractériser les variations et la géométrie de la courbe (tangente).
Points de vigilance et notions requises
- Python : Comprendre la boucle
for x in range(0,7) qui itère sur les entiers de 0 à 6 inclus, et savoir interpréter une liste binaire servant de filtre booléen.
- Dérivation : Appliquer la formule de dérivation d'une puissance $(x^n)' = nx^{n-1}$ et la linéarité de la dérivation.
- Équation de tangente : Utiliser la formule fondamentale $y = f'(a)(x-a) + f(a)$.
- Position relative : Maîtriser l'étude du signe de la différence entre la fonction et sa tangente pour déterminer si la courbe est au-dessus ou en dessous de celle-ci.
Correction détaillée et guide de résolution
1. Interprétation du script Python : Le script parcourt les valeurs entières de $x$ de 0 à 6. Le test if x**3 - 12*x**2 + 36*x >= 5 vérifie si la concentration est efficace. La liste résultat [0, 1, 1, 1, 1, 1, 0] indique que pour $x=0$ et $x=6$, la condition est fausse (0), alors que pour $x \in \{1, 2, 3, 4, 5\}$, elle est vraie (1). L'intervalle de temps sur lequel le médicament est efficace est donc $[1;5]$ heures.
2. Calcul de la dérivée : La fonction $f$ est une fonction polynomiale. Sa dérivée est calculée terme à terme :
$f'(x) = 3x^2 - 12 imes 2x + 36 = 3x^2 - 24x + 36$.
3. Équation de la tangente $T$ au point $A(4)$ :
- On calcule l'image : $f(4) = 4^3 - 12(4^2) + 36(4) = 64 - 192 + 144 = 16$.
- On calcule le nombre dérivé : $f'(4) = 3(4^2) - 24(4) + 36 = 48 - 96 + 36 = -12$.
- L'équation est $y = f'(4)(x - 4) + f(4)$, soit $y = -12(x - 4) + 16 = -12x + 48 + 16 = -12x + 64$. La justification est complète.
4. Démonstration algébrique :
On calcule $f(x) - (-12x + 64) = x^3 - 12x^2 + 36x + 12x - 64 = x^3 - 12x^2 + 48x - 64$.
En développant $(x-4)^3$ par étapes :
$(x-4)^2 = x^2 - 8x + 16$.
$(x-4)^3 = (x-4)(x^2 - 8x + 16) = x^3 - 8x^2 + 16x - 4x^2 + 32x - 64 = x^3 - 12x^2 + 48x - 64$.
Les deux expressions coïncident parfaitement.
5. Position relative : L'étude de la position relative revient à étudier le signe de $f(x) - (-12x + 64)$, soit le signe de $(x-4)^3$.
- Sur $[0;4[$, $x-4 < 0$ donc $(x-4)^3 < 0$ : la courbe est située en dessous de la tangente $T$.
- Sur $]4;6]$, $x-4 > 0$ donc $(x-4)^3 > 0$ : la courbe est située au-dessus de la tangente $T$.
Le point $A$ est un point d'inflexion où la courbe traverse sa tangente.