Analyse de l'énoncé et enjeux

Cet exercice de Première Spécialité porte sur l'étude complète d'une fonction combinant une expression affine et la fonction exponentielle : $f(x) = 4xe^{-x}$. Ce type de fonction, souvent appelé « fonction produit », est un classique des épreuves de mathématiques. L'objectif est de vérifier la maîtrise des règles de dérivation, l'étude de signe et l'interprétation géométrique du nombre dérivé (coefficients directeurs).

Points de vigilance et notions requises

• Règle du produit : Pour dériver $f(x) = u(x)v(x)$, on utilise la formule $(uv)' = u'v + uv'$.
• Dérivée de l'exponentielle : Rappelez-vous que la dérivée de $e^{-x}$ est $-e^{-x}$ (forme $e^{ax}$ ou $e^{u}$).
• Signe de l'exponentielle : La fonction $x \mapsto e^{X}$ est strictement positive sur $\mathbb{R}$, ce qui simplifie l'étude de signe de la dérivée.
• Coefficient directeur : Le coefficient directeur d'une droite passant par deux points $(x_A, y_A)$ et $(x_B, y_B)$ est $\frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$, tandis que celui de la tangente en $a$ est $f'(a)$.

Correction détaillée

1. Conjecture graphique : En observant le sommet de la courbe $\mathcal{C}_f$, on peut conjecturer que le maximum de la fonction est atteint pour $x=1$ et qu'il vaut environ $1,5$ (plus précisément $1,47$).

2. Calcul de la dérivée : Posons $u(x) = 4x \implies u'(x) = 4$ et $v(x) = e^{-x} \implies v'(x) = -e^{-x}$.
Alors $f'(x) = 4 \times e^{-x} + 4x \times (-e^{-x})$.
En factorisant par $4e^{-x}$, on obtient : $f'(x) = 4(1 - x)e^{-x}$.

3. Signe de la dérivée : Pour tout $x \in [0 ; 3]$, $4 > 0$ et $e^{-x} > 0$. Le signe de $f'(x)$ dépend donc uniquement de celui de $(1 - x)$.
- $1 - x > 0 \iff x < 1$.
- $1 - x < 0 \iff x > 1$.
La dérivée est positive sur $[0 ; 1]$ et négative sur $[1 ; 3]$.

4. Variations et maximum : La fonction $f$ est croissante sur $[0 ; 1]$ et décroissante sur $[1 ; 3]$. Le maximum exact est atteint en $x = 1$.
Valeur exacte : $f(1) = 4 \times 1 \times e^{-1} = 4e^{-1}$ (soit environ $1,47$).

5. Comparaison des pentes :
- Droite (AO) : $O(0,0)$ et $A(1, f(1))$. Le coefficient directeur est $m_{AO} = \frac{f(1) - 0}{1 - 0} = 4e^{-1} \approx 1,471$.
- Tangente $\mathcal{T}$ en $0,5$ : Le coefficient directeur est $f'(0,5) = 4(1 - 0,5)e^{-0.5} = 2e^{-0.5} \approx 1,213$.
Puisque $1,471 > 1,213$, c'est la droite (AO) qui possède le plus grand coefficient directeur.